CONDITIONS MULTIPLES

!ï 8 8— Reprenons l'examen des conditions géométriques par lesquelles on peut déflnir une courbe du second degré. Jusqu'ici nous n'avons parlé que des conditions simples, comme les points et les tangentes. Le centre équivaut à deux conditions; car, si l'on prend le centre pour origine des coordonnées, l'équation du second degré, étant privée des termes du premier degré, ne contient plus que trois paramètres arbitraires; ainsi la courbe est définie par son centre et trois points.

Un diamètre avec la direction des cordes équivaut à deux conditions; car si l'on prend le diamètre pour axe des x et une parallèle aux cordes pour axe des y, l'équation, étant privée des deux termes du premier degré en y, ne contient plus que trois paramètres arbitraires.

Un système de diamètres conjugués équivaut à trois conditions; car, si on les prend pour axes des coordonnées, Téquation, devant se réduire à la forme aa?'-h6y*-f-c = o, ne contient plus que deux paramètres arbitraires. En général,

soient a r=r o^ P = 0^ les équations de deux diamètres conjugués^ les distances a et ^ de chaque point aux deux diamètres conjugués, étant proportionnelles aux coordonnées de ce point relatives à ces diamètres, la courbe sera représentée par Té-

quation

(8) aa*-f-6P'+c = o

avec deux paramètres arbitraires.

L^équation

(9) a*H-aP = o

est réquation générale des paraboles dont la droite a = o est un diamètre, et la droite ^ = o la tangente à Textrémité de ce diamètre.

On sait que Téquation de Thyperbole, rapportée à ses deux asymptotes, est xy = k. En général, soient a = o, P = o, les équations des deux asymptotes, Tbyperbole sera représentée par une équation de la forme

(10) ap — ft = o

ne renfermant qu'un paramètre arbitraire k. Ainsi les deux asymptotes équivalent à quatre conditions, et la courbe est déterminée par les deux asymptotes et un point ou une tangente. Si Ton ne donnait qu'une asymptote a = o, Téquation P = o de l'autre asymptote étant indéterminée, Téquation (10) contiendrait trois paramètres arbitraires, de sorte qu'une asymptote équivaut à deux conditions.

Nous avons vu que toute courbe du second degré a un foyer et une directrice; il en résulte que Téquatiou

(11) (ic — a)* H- (y — 6)* — (ma? -H ny -i- A)' = o.

par laquelle on exprime la propriété du foyer et qui renferme les cinq paramètres arbitraires a, 6, m, n. A, représente toutes les courbes du second degré. Un foyer équivaut à deux conditions; car, si Ton donne un foyer, ses coordonnées a et 6 étant connues, Téquation (11) ne contient plus que trois paramètres arbitraires. De même, une directrice équivaut à deux conditions; car, en donnant l'équation de la directrice, on déter*

250 LIVRE m, CHAPITRE IX-

mine les rapports de deux des pamaiètres m, n, h au trobiène. I La perpendiculaire abaisiséd du foyer sur la directrice^ a|

pour équation — — — = ^ ; c*est un des a^çes de la courbe.

Un sommet situé sur cet axe équivaut à deux conditions; cm écrira que les deux coordonnées du sommet vérifient Téquation de Faxe et celle de la courbe. |

On peut se rendre compte d'une autre manière des résultats! que nous venons d'obtenir. Il egt clair que les deux coordonnées d'un point remarquable d'une courbe du second degré, i comme le centre, un foyer, un sommet, etc., peuvent êtrei exprimées à l'aide des coefficients de Téqualion générale du second degré; si donc on donne un pareil point, on aura deux relations entre les coefficients. De même, les deux coefficients de réquatlon d'une droite remarquable, comme la directriceî ou un axe, etc., peuvent être exprimés à l'aide des coefficients de réquationdu second degré; si cette droite est donnée, on aura encore deux relations entre les coefficients.

3S0 — Il est à remarquer que les formes précédentes, sous lesquelles nous avons mis l'équation du second degré, rentrent dans la forme ap — ky*=o, composée de trois polynômes du premier degré a, p, y qui se rapportent, les deux premiers aux tangentes menées d'un point arbitraire p du plan, le troisième à la corde des contacts. Lorsque le point p coïncide avec le centre de Thyperbole, les tangentes a et p sont les asymptotes; la droite des contacts s'éloignant à l'infini, le polynôme Y se réduit à une constante et l'équation ap — ky'=o devient ap — k = o. L'équation (8), mise sous la forme

se ramène à l'équation (lo). Quant à l'équation (ii), mise sous la forme

[(y -- &) — f (^ -- a)] [(î/ -- 6) -H *■ (^ -- a)] -- (wiû? -h ny -h ft)' == 0,

elle rentre aussi dans l'équation ap — fty*=o; les tangentes imaginaires menées du foyer ont pour coefficients angulaires ±i; la directrice est la corde des contacts. Les deux foyers

THÉORÈMES SUR LKS SECTIONS CONIQUES. 2Si

imaginaires de Tellipse ou de rhyper))olç jouissent 4e cçtto propriété^ comice les deux foyers réels,