CHAPITRE X

IhéAile dea pMea et de* polaires

ses— Soit

l'équation d'une courbe algébrique du degré m, mise sous

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. bé

>nne entière. La tangente^ au point dont les coordonnées ont X et y^ est représentée par Féquation

]ette équation renferme aussi les coordonnées du point de contact au degré m; mais on peut, au moyen de la relation (i), 'aire disparaître les termes du degré m. On opère aisément !ette réduction à l'aide d'une notation particulière^ que nous terons cx>nnaitre. Concevons que daps réquation (i)^ on rem*

place a? et y par - et -« et que Ton multiplie tous les termes

par z"*^ le polynôme ((x^ y) se transforme en un polynôme^ homogène et du degré m enlre les trois lettres x, y, z, polynôme que nous représenterons par f(Xy y, z). Il est évident que si dans ce dernier polynôme on fait z = i, on reproduit le polynôme proposé f(x, y). On sait que si une fonction f(x,y, z) est homogène et du degré m par rapport aux trois lettres x,y, z, on a identiquement

^fs-hyfi-hzfi^mfixyy^z).

On en déduit

La valeur du second membre, quand on y fait z = i^ est égale àla quantité xfir-\-yf^^y telle qu'elle enlre dans réquation de la tangente; mais le point de contact étant sur la courbe^ le premier terme se réduit à zéro; Texpression xfi-hyf^ est donc égale à la valeur que prend — zfi, quand on fait :; = i. On peut ainsi mettre réquation de la tangente sous la forme

Pour plus de symétrie, on écrira

(2) Xri+YA+Zri = o.

Quand on aura pris l^s trois dérivées partielles de la fonction homogène f{x^ y, z)j on remplacera dans réquation (2) z et Z par Tunité.

9#fll— Prop08ons«nou8 maintenant de mener par un pbtnt

160 UVRE m, CHAPITRE X.

donné p, ayant pour coordonnées x^ et j/i^ des tangentes à k courbe donnée. Appelons x et y les coordonnées de Tun des points de contact; la tangente en ce point devant passer par le point p^ Féquation (2) sera yériflée parles coordonnées x^ et y, du point py ce qui donne la relation

que, pour plus de symétrie, on mettra sous la forme

(3) xJL'hyM'\-zJi=o,

en convenant de remplacer z et 2. par Tunité. Les points de contact seront déterminés par les deux équations simultanées (i) et (3). Ces deux équations étant Tune du degré m^ l'autre du degré m — i, le nombre des solutions sera, en général, m (m — i). Ainsi par un point p on peut, en général^ mener m [m — i) tangentes, réelles ou imaginaires, à une courbe du degré m.

Lorsque la courbe est du second degré, Téquation (3) est du premier degré, et Ton a deux solutions, réelles ou imaginaires conjuguées. Quand les deux solutions sont réelles, on peut mener du point p à la courbe deux tangentes réelles. Quand les deux solutions sont imaginaires conjuguées, les deux tangentes sont imaginaires conjuguées, mais la droite des contacts (3) reste réelle.