PROPORTION HARMONIQUE

SOO-~Étant donnés deux points A et B, on sait qu^il existe sur la droite AB deux points C et D tels que le rapport de leurs distances aux deux points A et B est égal à un rapport donné (Qg. 171]* Ces deux points C et D sont dits conjugués harmoniques par rapport aux " deux points A et B. D'a- ^^s- 171. près cela, il y a une infi-

nité de systèmes de points conjugués harmoniques de deux points donnés; on peut prendre Tun des points à volonté. Si le point D se rapproche du milieu I de la droite AB, le point conjugué C s'éloigne à Tinfini et réciproquement. Appelons a et b les distances du point C aux deux pofnts A

et By et de même af et V les distancés da point D aux deux points A et B^ ces distances étant affectées du signe + ou du signe — suivant qu'elles sont comptées dans un sens ou dans Tautre. L'un des points étant situé entre les deux points A et B, et Tautre sur le prolongement de la droite, il est clair que Tun des rapports est négatif^ Tautre positif; on a donc la relation

<4) ft-5r=-'-

On peut déterminer les positions relatives des quatre points par les distances du point C aux trois autres; les lettres a ^\h désignent déjà les distances du point C aux deux points A et B; appelons d la distance du point C au pointD; on aura al^=za^d, Vzzzb — d,ellà relation précédente devient

On peut aussi déterminer les positions relatives des quatre points par leurs distances au point l, milieu de la droite AB. Si l'on appelle a^, e^, d^ les distances des points A, C, D au point 1, ona a=€^'—a^jb = e^+a^ a'=dj— a», y=di+aj, et la relation (4) devient

(6) c,d,= al

THioain i.

S01-~JS^ton< donnée une ieciion conique, si par un point p du plan, on mine une sécante quelconque mmf (flg. 172), le lieu du point ^ conjugué harmonique du point p par rapport aux deux points d'intersection m et mf de la sécante et de la courbe est une ligne droite.

Soit f(a?, y) = Ax"+BJV + Cy«-+-Da?-i-Ey4-F=o l'équation de la courbe, x^ et y^ les coordonnées du point p; une sécante quelconque menée par le point p pourra être représentée par les équations

Fi«. 179.

^i — U—Jb —

tn) Z Zâ — S. SJ — û

963 UVWE m, CHAPITRE X.

dans lesquelles a et 5 désignent deux constantes^ et p la distance du point p à un point quelconque de la droite; on en déduit 0? = a?! -h ap, y = yj -f- 6p. En portant ces valeurs dans réq nation de la courbe^ on obtient une équation du second

degré en p,

/•(x,-hap, y,+5p)=o,

qui donne les distances du point p aux deux points m et mf. L'équation deyeloppée.devient

(Aa«+Baft +cft«) p«+ (af;^-h 6r;,) p + /-(o^i, y,)=o,

6u, si l'on prend pour inconnue -»

Appelons p^ et p'^ les deux racines de cette équation^ et p^ la distance du point p au point conjugué harmonique p^. D'après

^a Mii&n (5); bfa doit ^voîr ~ =^ 4 + -.• »aîs on a

u\.\)\-:^'.r.. .: ... ^ Pi p p

on en déduit

Pt fi^U Vi)

ou opi/'i,-+-6pi/;,, + 2/'(x„yi) = o.

jie point p^ appartenant à la droite pmm^ ses coordonnées x et y yérifient Téquation (7) de cette droite, c'est-à-dire que Ton a Jp — j:| = ap4, y — yt = ^Piî ^^ remplaçant ap^ et 6p, par ces valeurs dans Téquation précédente,, on élimine les paramètres variables a et 6 et on obtient l'équation du lieu

' 0f (*-â?i)ri,-l-{y-y,)f;,H-2r(a?„y,) = o.

;Si l'on effectue les calculs, on voit que le terme con^taut ■af («u y.) — «./i,— y.r,. se réduit à D*» 4- Ey.H-aF, et l'équation précédente devient

«f ». + tf/J-.+ (I>«i -+- Ey, + aF) = o.

Mais on peut efflsctuer cette réduction d'une antre manière; imaginons, comme précédemment^ que dans le polynôme

f{^y y) on remplace a; et y par - et *t et que Ton multiplie

tous les termes par js*, ce polynôme se changera en un polynôme homogène et du second degré, que nous représenterons par f{Xy y, z). On a identiquement, d'après la propriété des fonctions homogènes que nous avons rappelée (n* 298),

^ri+ yfj^H- «f i= 2/ {Xy y, z), on en déduit

2^(0?, y, z)—xfL—yf'y=zfi,

ou bien, en remplaçant Xy y, % par x^y y^, z^y On peut donc écrire Féquation (8) sous la forme ou, pour plus de symétrie,

(9) ^r4,-Hyr;.+«r..=o.

en convenant de remplacer, après les dérivations, z et z^ par l'unité.

Ainsi le lieu du point p' conjugué harmonique du point p est une ligne droite; cette droite P s'appelle la polaire du point p, et réciproquement le point p est le pôle de la droite P.

Il est évident à priori que les points de contact des tangentes menées du point p appartiennent au lieu; car, si les deux points m et tnf coïncident, on a p^ = p^ = p'^, et, par conséquent, le point p' coïncide lui-même avec le point m. Ainsi la polaire du point p n'est autre chose que la corde des contacts relative à ce point. On peut vérifier, en effet, que les équations (3) et (9) sont identiques; car, si l'on développe l'équation (9), on voit qu'elle ne change pas quand on y permute les lettres x et x^, y et y^, z et z^.

309 — Examinons les positions relatives du pôle et de la polaire dans les trois courbes du second degré. Supposons

d'abord que là courbe soit une ellipse, si Ton prend pour axe des X le diamètre qui passe par le point p et pour axe des j^ le diamètre conjugué, FpUipse ayant pour équation

l'équation de la polaire se réduit à -^ — 1 = 0, ou x = —

Ainsi la polaire P est parallèle aux cordes que le diamètre op divise en deux parties égales (fig. 173). Si Ton fait mouvoir le point p sur le diamètre oa,, la polaire P se meut parallèlemenl à elle-même; tant que le point p reste à l'intérieur de la courbe, la polaire est à l'extérieur; quand le pôle va de 0

en a la polaire, d'abord située à rinfini, se rapproche de plus en plus de la courbe et devient tangente en a. Si le pôle sort de la courbe et s'éloigne indéfiniment, la polaire coupe la courbe et se rapproche du centre de plus en plus. Le diamètre conjugué du Fig- 173. diamètre op peut être regardé

comme la position limite de la polaire du point p, quand le pôle s'éloigne à l'infini sur ce second diamètre.

Lorsque la courbe est une hyperbole, si le diamètre op rencontre la courbe, on obtient un résultat analogue à celui que nous avons trouvé pour l'ellipse; mais si le diamètre op, que l'on prend toujours pour axe des x, est imaginaire, l'équation

de la polaire devient x= ; le pôle p et le point p', où

la polaire coupe le diamètre op, sont situés de part et d'autre

du centre, et la polaire coupe toujours la courbe en deux

points. En particulier, si l'on fait x^ = a^, on a x= — af;

c'est-à-dire que si le pôle p est situé sur l'hyperbole conjuguée

de l'hyperbole proposée, sa polaire est tangente à cette même

hyperbole au point diamétralement opposé.

Le calcul précédent ne peut être appliqué lorsque le

pôle p est situé [sur l'une des asymptotes de l'hyperbole.

Dans ce cas^ si Ton rapporte la courbe à ses asymptotes, Téquation de la courbe est xy — A:* = o, et celle de la polaire x^y-^y^x — aft* = o; si le pôle est sur Taxe des x, Téquation

de la polaire se réduit à y = — ; la polaire est parallèle à Taxe

des X.

Considérons enfin le cas où la courbe est une parabole. Si Ton prend pour axe des x le diamètre qui passe par le pôle et pour axe des y la tangente au point a où ce diamètre rencontre la courbe, la parabole a pour équation y* — ap^x = o et la polaire 0?= — x^. La polaire est parallèle aux cordes que le diamètre passant par le pôle divise en deux parties égales; le pôle p et le point p' où la polaire coupe le diamètre op sont situés à égale distance du point a.

303— 11 résulte de ce qui précède que^ réciproquement^ toute droite admet un pôle et un seul. La courbe étant rapportée à des axes quelconques^ pour déterminer les coordonnées x^ et y^ du pôle p d'une droite donnée mx + ny +p = o, il suffira d'identifier cette équation avec Téquation (9) qui représente la polaire du point py ce qui donne les deux relations

THÉORÈME U

304 — Étant donnée une section conique, si par un point p

on mène deux sécantes quelconques pmm^ pnn^^ qui coupent la courbe en m, m', n, n^ (flg. 174), les points d'intersection q et ^ des droites mn^ m^n^^ ou mu'^ m^n appartiennent à la polaire du point p.

Nous remarquons d'abord que le théorème 1 subsiste lorsque le lieu du second degré se réduit Fig. 174. au système de deux droites; mais

alors la polaire du point p passe par le sommet de Tangle; car,

si Ton considère la sécante qui passe par le sommet^ les deux points m et m/ coïncident avec ce point, de même que le point j/ conjugué harmonique du point p.

Cela posé, considérons le système des deux droites rnuy fnfn' qui se coupent en q. La droite pmmf coupe la section conique et les deux côtés de Tangle mqm/ aux mêmes points m et mf; le point p^, conjugué harmonique du point p, est le même sur la sécante pmm^, lorsqu'on regarde cette sécante comme appartenant à la section conique ou à Tangle. Le point p", conjugué harmonique du point p, sera aussi le même, dans les deux cas, sur la sécante pnnf. Les polaires du point p, par rapport à la section conique et à Tangle, ayant deux points communs p^ et p"^, coïncident; mais on sait que la polaire relative à Tangle passe par le sommet q; donc le point q appartient à la polaire du point p par rapport à la courbe. Par la même raison, le point 9^ appartient à cette même polaire.

Corollaire. La courbe étant tracée, on déduit de ce théorème le moyen de construire la polaire du pointp. On mènera par le point p deux sécantes pmm^, pnW à l'aide desquelles on déterminera deux points q et q^ de la polaire.

Si le point p est extérieur, la polaire coupe la courbe en deux points qui sont les points de contact des tangentes menées du point p.

TBÉORèME III.

SOS — 5t, par le point p, on mène une sécante quelconqiie

Fig. 175.

coupant la courbe m deux points m et m', les tomgentês

en ces deiix points se rencontrent sur la polaire du point P.

Ce théorème est une conséquence immédiate du préeédent. Car, si la sécante pnn^ (flg. 174) se rapproche indéfiniment de la sécante pmml, les deux droites tnn^ m'f^ deviennent tangentes à la courbe en m et m! (fig. 175).

Lorsque la sécante pmml ne rencontre pas la courbe, les tangentes aux points m et ml sont imaginaires conjuguées, et leur point d'intersection q reste réel. Dans tous les cas^ ce point q est pôle de la droite tnm'; ainsi on peut énoncer le théorème de la manière suivante : lorsqu'une droite pmm^ tourne autour d'un point fixe p^ son' pôle q décrit la polaire du point p.

THÉORÈME IV

SOG— -Réciproquement^ lespolaires de tous les points d'Une droite P passent par le pôle p de cette droite (fig. 175).

Par un point quelconque q de la droite P menons des tangentes à là courbe, et soient m et m' les points de contact. La droite pm passe par le point m'; car èi on appelle m" le second point d'intersection de cette droite et de la courbe, le point de rencontre des tangentes en met en m", appartenant à la polaire P du point p, n'est autre que le point q; les deux tangentes qM et qm" coïncident, ainsi que les points m^ et m". Ainsi la droite mm^, polaire du point q, passe par le point p.