CLASSIFICATION DES SURFACES

416 — On distingue les surfaces^ comme les lignes^ en surfaces algébriques et surfaces transcendantes^ suivant que leurs équations sont elles-mêmes algébriques ou transcendantes. Quand l'équation est algébrique^ elle peut toujours se ramener à la forme entière, et une transformation d'axes rectilignes ne change pas son degré. Le nombre qui exprime ce degré sert à classer les surfaces en ordres; ainsi, on dit qu'une surface est du premier, du second, du troisième ordre, etc., lorsque son équation est du premier, du second, du troisième degré, etc.

Pour que Téquation f{Xy y, z) = o, algébrique et entière du degré m, représente réellement une surface de Tordre m^ il faut que son premier membre ne puisse pas se décomposer en un produit de deux fonctions entières, ou qu'elle soit irréductible. Deux équations irréductibles distinctes représentent deux surfaces qui peuvent avoir une ou plusieurs lignes communes, mais ces surfaces n'ont jamais d'éléments superficiels communs; car pour avoir des solutions communes aux deux équations, on ne peut pas prendre arbitrairement, même entre des limites très-resserrées, deux des variables.

Un plan coupe une surface algébrique de l'ordre m suivant une ligne algébrique dont Tordre ne peut dépasser m; en effet, si Ton rapporte cette surface à un système de trois plans coordonnés, dont fasse partie celui que Ton considère, on obtient Téquation de la ligne d'intersection, par rapport à deux des axes coordonnés, en remplaçant dans Téquation de la surface Tune des coordonnées par zéro; le polynôme à deux variables qui en résulte ne peut évidemment être d'un degré supérieur à m. Une ligne droite rencontre une surface de Tordre m en m points au plus, ou bien elle est située tout entière sur la surface.

Une surface du premier ordre, étant coupée par un pkn quelconqae suivant une ligne droite, est un plan.

SECTION d'une SUBFAGE PAR UN PLAN.

41 y — Supposons d'abord que le plan passe par Torigine;

Fig. 256.

on déterminera sa position par l'angle ^ que fait avec OX sa

trace OX' sur le plan XOY, et par Tangle 6 que fait avec OZ la normale OU à ce plan (fig. 256). Par le point 0 menons dans le plan une droite OY' perpendiculaire à OX'; nous rapporterons la courbe d'intersection aux deux axes rectangulaires OX' et OY' situés dans son plan. Supposons d'abord que Ton fasse tourner les axes primitifs autour de OZ d'un angle i( pour amener OX sur OX' ; OY prendra dans le plan XOY une position OY, perpendiculaire à OX'; la coordonnée z ne change pas, et Ton a

55 = jc' cos^ — y^ sin ij;, y = ar'sini]; + ViCos^.

Les quatre droites 0Y„ OY', OZ, OZ', perpendiculaires à OX', sont dans un même plan perpendiculaire à cette droite; faisons tourner le second système d'axes autour de OX' de l'angle 8 pour amener OY^ sur OY', et par suite OZ sur OZ'; la coordonnée â/ ne change pas, et Ton a

y^ = y'cosÔ — «' sinô, js = y' sinô -h z' cosô.

Si l'on considère un point situé dans le plan X'OY', la coordonnée 2' étant nulle, les dernières formules se réduisent à yi=y'co6e, « = y'sin6 et l'on a ainsi

a/cos^ — y' sin if cos6, o/sin ^ + t/'cos^ cosô,

Z ==y'sin6.

On peut déduire ces formules de celles d'Euler en y faisant =0 et 2'= G. Si le plan sécant défini de la même manière quanta sa direction, au lieu d'être mené par l'origine, passait en un point ayant pour coordonnées a, 6, c, dans les formules précédentes on mettrait rc — a, y — 6, z — c à la place de

TBANSFORMATION DES COORDO^NEES REGTILIGNES EN COORDONNÉES POLAIRES.

4flfl— Le système polaire défini au n"" 4oi étant assez fréquemment employé^ il est bon d'indiquer comment on passe

du système recliligne rectangulaire au système polaire, et réciproquement.

Considérons le cas où Taxe fixe est OZ^ te plan XOZ le plan fixe à partir duquel se comptent les angles ^ (fig. 257). La projection de OM sur OZ est pcosO, la projection OP de la même ligne sur le plan XOY est psinO; enfin les projec^ tiens de OP sur les axes OX et OY sont Pig. 257. p sinO co J;, p sinô sin^j^. Si donc on pro-

jette sur chacun des trois axes la droite OM et la ligne brisée OPH^ on obtient les relations

(i3) a: = pcos4'sinô, y = psinij;sîn9, js = pcos6.

On en déduit les formules inverses

(i4) p = V^'-hy'+2*, tangd; = ^f cos6 = -

yjx'

Dans le système polaire, une direction OM est complètement déterminée par les deux angles 0 et ^; on s'en sert fréquemment à ce point de Tue. En astronomie, si la droite OZ est la verticale d'un lieu, le plan ZOX le plan méridien du lieu, et que le rayon OM soit le rayon visuel d'un astre, Tangle 0 sera la distance zénithale de cet astre et Tangle ^ son azimut. En géographie, on prend pour OZ la ligne des pôles, alors 6 est le complément de la latitude et ^ la longitude.