PARABOLE
24 — La parabole est une courbe dont chacun des poinls est également distant d'un point fixe nommé foyer et d’une droite fixe appelée directrice.
11 est facile de construire la parabole par points. Soit F le foyer, DD' la directrice (fig. iG); menons par le foyer une droite BD perpendiculaire à la directrice; le point A, milieu de FD, est un premier point de la parabole. Traçons une série de droites parallèles à la directrice, à une distance plus grande que AD. Soit P le point où l’une d’elles rencontre la droite DB; du foyer F, avec une ouverture de compas égale à DP, décrivons un cercle Fig. ic. qui coupera la parallèle en deux points M
M', appartenant à la parabole. Car la perpendiculaire ME, abaissée du point M sur la directrice, est égale à DP, et, par suite, au rayon MF; le point .M, étant également distant du foyer et de la directrice, est un point de la parabole. Répétons cette même construction pour chaque parallèle; quand nous aurons déterminé ainsi un nombre suffisant de points, nous ferons passer à la main un trait continu par tous ces points.
La droite DB, menée par le foyer perpendiculairement à la , directrice, est un axe de la parabole; car, d’après la construction, la corde MM' est perpendiculaire à DB et divisée au point P en deux parties égales. Si donc on fait tourner la partie supérieure de la parabole autour de la droite DB, pour la rabattre de l’autre côté, la droite PM s’appliquera sur PM', le point M en M'. Comme il en est de même pour tous les poinls deux à deux, on voit que la partie supérieure coïncidera exac-
EXEMPLES
tement avec la partie inférieure. Donc la droite DB est axe de la paralwle. Le point A, milieu de FD, est le sommet de la parabole.
La parabole n’est pas une courbe fermée comme l’ellipse ; elle se compose de deux branches qui se prolongent indéfiniment. Les dimensions de la parabole dépendent de la distance du foyer à la directrice, distance que l’on appelle paramètre de la parabole ; quand cette distance est très-petite, les deux branches de la parabole sont très-rapprocbées l’une de l’autre. Elles s’écartent et la parabole s’ouvre d’autant plus que ce paramètre est plus grand.
—On peut aussi tracer la parabole d’un mouvement continu. Plaçons une règle sur la directrice DD' (fig. 17); appli- I,, quons contre la règle une équerre GHK; au
-- sommet G attachons un fil d’une longueur
égale au côté GH de l’équerre, l’autre extré- II '"'...mX / mité étant attachée au foyer F; tendons le I ~/'\ / *’ fil contre l’équerre avec un crayon, puis I / faisons glisser l’équerre le long de la règle,
V' ^ et, en même temps, le crayon le long de
l’équerre de manière à tenir le fil constam- ment tendu ; nous décrirons un arc de para-
Fiji 17. bole. En effet, soit M le point où se trouve le
Clayon quand l’équerre occupe la position GHK; la longueur du 01 ou la ligne hrisée GM -h MF étant égale au côté GH de l’équerre, la distance MF égale MH, et, par conséquent, le point M appartient à la parabole.
La définition de la parabole indique un système de > ^ coordonnées dont nous n’avons point encore
( parlé. On peut déterminer un point quel-
j / /\ conque M du plan par ses distances MF
• 1/ /“ i et ME au foyer F et à la directrice DD'
/ i— — j position du point M sera donnée
\ par l’intersection d’un cercle décrit du foyer
\ comme centre et d’une droite parallèle à la
\ directrice. Si l’on appelle u et v les deux FiR. 18. ^ coordonnées du point M, la parabole aura
pour équation dans ce système
Prenons maintenant pour origine des coordonnées rectilignes le sommet A de la jiarabole, pour axe des x l’axe AX de la parabole, et pour axe des y une perpendiculaire AY. En désignant par p la distance FD du foyer à la directrice, on a
ir-f-
V = AP -t- AD = a; -t- ^ » w = y/ y* 4et l’équation de la parabole devient
\Jy'-
OU (2) y-='2px.
*27 — Avant d’aller plus loin nous dirons comment on définit la tangente à une courbe quelconque. En géométrie
élémentaire, on appelle ordi-
-- — 7,^ — nairement tangente au cercle
'' une droite indéfinie, qui n’a Fig. 19. qu’un point commun avec la
circonférence; mais cette définition n’étant pas susceptible d’être généralisée, il convient de définir la tangente d’une autre manière. Soit M un point donné sur une courbe (lig. iç)) par ce point et un point voisin M', menons une droite indéfinie; imaginons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite MM' tendra vers une position limite MT. C’est cette droite MT que l’on appelle tangente à la courbe au point M.
Il est aisé de voir, d’après cette définition, que la tangente au cercle au point M est perpendiculaire à l’extrémité du rayon OM; car, dans le triangle isocèle MOM', l’angle OMM' est. I/' I égal à un angle droit, moins la moitié de
'* J l’angle au centre MO.M'; quand le point M'
se rapproche indéfiniment du point M, l’angle au centre lend vers zéro, et l’angle OM.M' devient droit.
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EXEMPLES
CISSOÏDE DE DIOCLÉS.
*8 — Etant donnés un cercle, un diamètre AB, une tangente BC à l’extrémité de ce diamètre (fig. 20); si du point A on mène
une sécante mobile AE, sur laquelle on porte à partir du point A une longueur AM égale à la portion DE de la sécante comprise entre le cercle et la tangente fixe, le lieu du point M est une courbe qui porte le nom de Cissoïde.
Si l’on suppose que la sécante mobile parte de la position AB et tourne autour du point A, de AX vers la perpendiculaire AY, la longueur DE et, par suite, AM augmentera indéfiniment; le point M décrira une branche de courbe infinie AMM'. Si Fig. 90. l’on fait tourner la sécante mobile
de l’autre côté de AB, on obtiendra évidemment une seconde branche égale à la première.
La droite AB est un axe de la courbe, puisque les deux branches sont symétriques par rapport à cette droite.
La tangente aux deux branches au point A coïncide avec l’axe. Car, si la sécante AM tourne autour du point A de manière à ce que la corde AM ou DE devienne nulle, elle tend vers la position limite AB; donc AB est la tangente en A. Le point A est ce qu’on appelle un point de rebroussement.
On peut voir aussi que les deux branches de la courbe se rapprochent indéfiniment de la droite CC'. En effet, considérons la sécante dans la position AE'; si de la longueur totale AE' on retranche alternativement les deux longueurs égales AM' et ffE', on a M'E'= AD'. La corde AlV diminuant de plus en plus et tendant vers zéro, il en est de même de la longueur M'E', et, a plus forte raison, de la perpendiculaire M'H. Cette droite CC', dont la courbe se rapproche indéfiniment, s’appelle une •uymptote.
La cissoïde a été imaginée par le géomètre grec Dioclès, pour résoudre le problème delà construction de deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données.
89 — Cherchons l’équation de la cissoïde en coordonnées polaires; prenons le point A pour pôle et la droite AB pour axe polaire. Appelons o le diamètre du cercle donné, p et w les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe (fig. 2i). Dans les triangles rectangles ARE, ABD, on a
Fig. SI.
AE = • AU = acosw:
cos w
AI- Al. « asin’w
dou p = DE = AE — AD = acosw =
^ COStO COSOi
Ainsi la cissoïde est représentée en coordo.nnées polaires par l'équation
, , asin’to
^ cos CO
• Cherchons maintenant l’équation en coordonnées rectilignes; prenons le point A pour origine, la droite AB pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des y. Dans le triangle rectangle MAP, on a
a:z=pcos(o, ÿ = psincü, p*=x*+ÿ*;
si, dans l’équation (i), on remplace d’abord cosco par -» siiiw
par i » ce qui donne fx = ay^, puis p* par Æ*-t- ÿ*, on arrive
à l’équation de la cissoïde en coordonnées rectilignes
30— Proposons-nous de construire, au moyen de son équation en coordonnées rectilignes, la cissoïde que nous avons déjà construite d’après sa délinition géométrique.
En résolvant l’équation par rapport à y, on a
ÿ=±xi/^—
EXEMPLES
L’ordonnée n’est réelle que pour les valeurs de l’abscisse comprises entre o et o; donc la courbe est située tout entière entre l’axe des y et la parallèle GG’ menée à la distance u (fig. 20). Quand x croît de o à a, la valeur numérique de y croît de o à 00, ce qui donne une branche de courbe partant de l’origine A et s’élevant indéfiniment. En même temps la distance M’H = a — æ d’un point de la courbe à la droite BG tend vers zéro, ce qui fait voir que la droite BG est asymptote de la courbe. Gomme à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires, la courbe se compose de deux branches symétriques par rapport à l’axe AX.
STROPHOÏDE.
31 — Un angle droit YOX (tig. 22) et un point fixe A sur un de ses côtés étant donnés dans un plan, on mène du point fixe A une droite quelconque AD qui rencontre le côté OY en D, et l’on porte sur cette droite d’un côté et de l’autre à partir du point D des longueurs DM et DN égales à OD; le lieu des points M et N est Isislrophoïde.
Quand la droite mobile occupe la position AO, les deux points M et N se confondent en 0. Si la droite tourne de manière à ce que le point D s’élève indéfiniment sur OY, OD augmente, et l’on voit que le point N décrit une branche de courbe infinie ON.
Quant au point M, il se rapproche de plus en plus du point A. En effet, on obtient les points M et N en décrivant un cercle du point D comme centre avecDO pour rayon ; quand le point D s’élève à l’infini,
\ l’arc de cercle OM coïncide avec la droite OA, et le point M vient en A.
11 y a évidemment une partie symétrique de l’autre côté de l’axe OX.
Le point 0, par lequel passent Fig. les deux branches de courbe, s’ap-
pelle point multiple. Les tangentes en ce point aux deux bran-
ches de courbes coïncident avec, les bissectrices des angles droits YOX, YOX'. Car l’angle ODE,, extérieur au triangle isocèle DOM, est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés, et par conséquent, à deux fois l’angle DOM; de même l'angle ODA est égal à deux fois l’angle DON. Quand la droite AD s’applique sur AO, l’angle obtus ODE diminue et tend vers
un angle droit; l’angle moitié YOM diminue et tend vers
l’angle aigu ODA augmente et tend vers un angle droit; l’angle
TT
moitié YON augmente et tendaussi vers 7- On peut remarquer
d’ailleurs que les deux droites OM et ON sont rectangulaires. On voit, en outre, que l’arc OMA est situé au-dessous de sa tangente, tandis que l’arc ON est au-dessus.
La tangente au sommet A est perpendiculaire à l’axe OX; car, lorsque le point D s’élève indéfiniment, la corde AM tend à devenir perpendiculaire sur OX.
Sur le prolongement de AO prenons OG = OA, et par le point G élevons la perpendiculaire H'H; cette droite est asymptote de part et d’autre aux deux branches infinies de la courbe; car la distance NE, égale à AM, tend vers zéro.
32— Cherchons l’équation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point O pour pôle, et la droite OA pour axe polaire; les coordonnées du point M sont p = OM, w = MOA; dans le triangle isocèle DOM, chacun des angles DOM, DM0 est
égal à ^ — w, et l’angle ODM à ?.w; l'angle 0 AM, complémentaire du précédent, vaut ^ — ?.w. Si l’on désigne par a la longueur OA, on a, dans le triangle OMA,
sin(^
sin
d’où
