LIV. III, CHAP. IV. -DE L'ELLIPSE
1 5 1— Construction de la tangente en un point de l’ellipse. Si dans l'équation de la tangente on fait Y =0, on obtient a *
l'abscisse X = — du point T ou la tangente rencontre le pro-
longemeut du grand axe (fig. 79).
Comme cette valeur de OT est indépendante du petit axe 26 et de l’ordonnée y du point de contact, il en résulte que, si sur l'axe A' A on construit plusieurs ellipses, les tangentes aux points qui ont même abscisse passent par un même point T situé sur le prolongement de l’axe MA.. Or, parmi ces ellipses, se trouve le cercle AB,.V ; pour construire la tangente à l’ellipse au point M, on mènera une tangente au cercle au point M,, situé sur la même ordonnée, on joindra le point M au point T, où la tangente au cercle rencontre le prolongement de l’axe MA ; la droite MT ainsi obtenue est la tangente à l’ellipse.
Cette construction revient à considérer la tangente à l’ellipse au point M comme la projection de la tangente au cercle au point correspondant M,. En effet, quand on fait tourner le plan du cercle autour de l’axe AA' de l’angle <?, le point T où la tangente M,T rencontre l’axe, ne bouge pas, le point M, se projetant en M, la droite TM, aura pour projection TM ; c’est la tangente à l’ellipse.
153 — Mener une tangente par un point extérieur P. Désignons par x, et ÿ, les coordonnées du point P (flg. 80).
Soit PM la tangente demandée, appelons x et y les coordonnées du point de contact M; le point M étant sur l'ellipse, on a l’équation x ’ w* a* + 6«
Fig.so. La tangente au point M a pour équation
cette tangente devant passer au point P, son équation doit être vérifiée par les coordonnées du point P, ce qui donne l’équation de condition
xxx yy, o* ^ 6* ~~
Ainsi les deux coordonnées a: et y du point de contact M sont déterminées par les deux équations simultanées
xx,
yy,,
Pour résoudre ces deux équations, on substituera dans la première la valeur
, xx,
tirée de la seconde, ce qui conduit à l’équation du second degré
dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M' des deux tangentes menées du point P. Cette équation, dans
laquelle on peut regarder — comme l’inconnue, aura ses racines réelles si la condition
-aV + l^-O0
est satisfaite, c’est-à-dire si le point P est en dehors de l’ellipse.
La résolution des deux équations simultanées (i) et (5) revient à chercher les points d’intersection des deux lignes représentées par ces deux équations. L’équation (1) représente l’ellipse proposée, l’équation (5) la droite des contacts MM'.
154 — Il est facile de construire géométriquement les tan-
LIV. III, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE, gentes menées du point P, en considérant l’ellipse comme la
projection du cercle AB,A (Ûg. 81). Cherchons dans le plan du cercle le point P, qui a pour projection le point P dans le plan de l’ellipse. Traçons dans le plan de l’ellipse la droite PB que nous prolongerons jusqu’à sa rencontre avec l’axe en H; la droite HB,, ayant pour projection HB, passera par le point P, et déterminera ce point. Du point P, menons au cercle des tangentes P,M, , P,M/ que nous prolongerons jusqu’à leur rencontre avec l’axe en T et T' ; les droites PT, PT', projections des tangentes au cercle, seront tangentes à l’ellipse, et les points de contact M et M' seront situés sur les ordonnées des points M, , M/.
Pour que l’on puisse effectuer ces constructions, il n’est pas nécessaire que l’ellipse soit tracée.
Fig. 81.
155 — Mener une tangente parallèle à une droite donnée. Soit
y — mx
l’équation de la droite donnée OL, que l’on peut supposer me-
née par le centre (flg. 82).
Appelions a: et y les coordonnées du point de contact Mj ce point étant sur l’el-
0 Jk T lipse, on a l’équation
le coefficient angulaire de
F*e- 8a- la tangente devant être égal
à m, on a la seconde équation
Ces deux équations simultanées déterminent les deux inconnues x et y; la première représente l’ellipse proposée; la seconde une droite MM' passant par le centre ; les points où cette droite rencontre l’ellipse sont les points de contact.
ISO — 11 est facile de construire ces tangentes géométriquement. Cherchez d’abord dans le plan du cercle le diamètre OL, qui a pour projection OL sur le plan de l’ellipse ; il suffit de joindre le point B à un pointquelconque L de la droite OL et de prolonger la droite BL jusqu’à sa rencontre avec l’axe en H; puis de joindre B,H et de prendre le point d’intersection L, de cette droite avec l’ordonnée du point L; le point L étant la projection du point L,, la droite OL est la projection de OL,. Menez au cercle des tangentes M,T, M/T', parallèles à OL, (il suffit pour cela de mener un diamètre M,M/ perpendiculaire à OL,) ; par les points T et T' où ces tangentes rencontrent l’axe, menez des parallèles TM, T'M' à la droite OL, vous aurez les tangentes demandées, car les projections OL, TM des droites parallèles OL,, TM, sont elles-mêmes parallèles; vous obtiendrez les points de contact M et M' par les ordonnées des points M, et M/.
157— On peut obtenir l’équation de la tangente à l’ellipse
sous une autre forme qu’il est bon de connaître. Cherchons
les points d’intersection de l’ellipse
et de la droite
y=mx + k.
L’élimination de y conduit à l’équation du second degré
(ï+if)* +-ïï-*+(f-,)=0'
dont les racines sont les abscisses des points d’intersection. Quand cette équation a ses racines réelles et inégales, la droite
LIV. III, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE, rencontre l’ellipse en deux points ; c’est une sécante. Quand les racines deviennent égales entre elles, ce qui a lieu lorsque la condition
A, = oîm> -f 6*
est remplie, les deux points d’intersection se confondent, et la sécante devient tangente. Si Ton remplace la constante k par sa valeur, l’équation de la tangente se présente sous la
forme
(6) y = mx± y/ a’m’-j-éi.
Cette équation, dans laquelle le paramètre m est arbitraire, représente toutes les tangentes à l’ellipse. Si l’on donne le coefficient angulaire m ou la direction de la tangente, l’équation est entièrement déterminée, et, à cause du double signe, on a deux tangentes parallèles et à égale distance du centre.
158— Cette forme donnée à l’équation de la tangente est utile dans un grand nombre de questions. Pour en montrer
un exemple, proposons-nous le problème suivant : Trouver le lieu du sommet d’un angle droit circonscrit à l’ellipse. Supposons que l’on veuille mener par un point extérieur (fig. 83), ayant pour coordonnées x et y, des tangentes à l’ellipse ; si l’on représente la tangente par l’équation
Y = mX± / a’m’-fè’,
la tangente devant passer par le point P, on aura l’équation de condition
y — mx± / a»m* + è’,
dans laquelle le coefficient angulaire m est l’inconnue. Cette équation, mise sous forme entière,
m* (a* — x’) + 2®ym-f (è* — y*) = O est du second degré ; ses deux racines donnent les directions des deux tangentes menées du point P à l’ellipse, et, par consé-
quenl, déterminent ces tangentes. Les deux tangentes menées par le point P seront rectangulaires, si le produit des deux valeurs de m est égal à — 1, ce qui exige que les coordonnées du point P vérifient la relation
as— ’
ou
Ainsi le lieu du sommet d’un angle droit circonscrit à l’ellipse est le cercle circonscrit au rectangle construit sur les axes.
DIAMÈTRES
150 — Nous avons trouvé (n° 129) l’équation générale des diamètres dans les courbes du second degré. En représentant par f (x, y) l’équation de la courbe, et par m le coefficient angulaire des cordes parallèles MM' (fig. 84), nous avons vu que
l’équation du diamètre DD7 se met sous la forme
fx + mfs= 0.
L’ellipse étant rapportée à ses axes, l’équation du diamètre se réduit à 1x . 2 my
M JL
Fig. 84.
ou
Si l’on désigne par m' le coefficient angulaire du diamètre DD', on a, entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation
(7) mm' = — — .
Nous avons vu aussi que si l’on mène des cordes MM" parallèles au diamètre DD7, le diamètre EE' qui divise ces cordes en deux parties égales a pour coefficient angulaire m; les deux diamètres DD7, EE7 forment un système de diamètres
