LIV. III, CH AP. IV.— HE L’ELLIPSE
conjugués, et leurs coefficients angulaires m' et m sont liés par la relation (7).
Cette relation fait voir que les deux coefficients angulaires m et m' sont de signes contraires, et par conséquent que les deux demi-diamètres conjugués OD et OE sont situés de part et d’autre du petit axe ; si le premier part de la position OA et tourne de OA vers OB, le second part de la position OB et tourne de OB vers OA'.
160 — La tangente en un point quelconque D de l’ellipse est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre Diy qui passe au point de contact. En effet, si l’on appelle x et y les coordonnées du point D, le diamètre OD a pour coefficient
angulaire m = — ; le coefficient angulaire de la tangente au
JC
point D est m'=— ; on voit que ces deux coefficients
vérifient la relation mm' =
On se rend bien compte de cette propriété en imaginant que la sécante MM' se meut parallèlement au diamètre EE', et s’éloigne du centre ; les deux points d’intersection M et M' se rapprochent de plus en plus du milieu de la corde, et finissent par se confondre en D ; alors la sécante devient tangente au point D.
161 — Les propriétés des diamètres conjugués se montrent
immédiatement, quand on considère l’ellipse comme la projection d’un cercle. Deux diamètres rectangulaires OD, , OE, (fig. 85) , dans le plan du cercle, forment un système de diamètres conjugués ; car chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes paral-
Fie- 85- lèles à l’autre; les cordes parallèles se
projettent sur le plan de l’ellipse suivant des cordes parallèles;
140 CÉ0MÉTR1E ANALYTIQUE.
le milieu d’une corde a pour projection le milieu de la projection de la corde; chacun des diamètres 0D et OE, projections des premiers, divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre ; ce sont deux diamètres conjugués de l’ellipse.
On en déduit facilement la relation qui existe entre les coefficients angulaires m et m' de deux diamètres conjugués. Si l’on appelle m, et m/ les coefficients angulaires des deux dia-
mètres conjugués OD,, 0E,du cercle, on a m=—m„
d’où mm!=—tintmji puisque les diamètres conjugués du cercle sont rectangulaires, on a 01,01/= — 1; il en résulte
/ b ’ mm — .
Quand on donne un diamètre OD, on peut trouver le conjugué OE, sans que l’ellipse soit tracée. On construira le diamètre OD, qui a pour projection OD; on mènera le diamètre OE, perpendiculaire à OD,, et on projettera OE,; la projection OE sera le diamètre demandé.
162 — Ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. Nous avons vu (n° 138) que, lorsqu’on prend pour axes des
coordonnées deux diamètres conjugués DD', EE' d’une ellipse, l’équation de la courbe se simplifie et se met sous la forme Mx' * + Ny'* = H.
Désignons par 2 a' et 26' les longueurs des diamètres conjugués; si, dans l'équation précédente, on fait
Fig. 86.
successivement y=0 et x=0 , on a
