LIV. III, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE

ce qui permet d’écrire l’équation de la courbe de la manière suivante :

Ainsi, quand on rapporte l’ellipse à deux diamètres conjugués, la forme de l’équation est la même que lorsque la courbe est rapportée à ses axes. Seulement les coordonnées sont obliques au lieu d’être rectangulaires.

Les calculs qui ont été effectués pour démontrer les. propriétés de l’ellipse, au moyen de l'équation rapportée aux axes, et dans lesquels on n’a pas supposé les coordonnées orthogonales , pourront être répétés avec l’équation de la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués. Ainsi l’ellipse étant rapportée au système des diamètres conjugués OD et OE, la tangente aura pour équation

Mais l’équation de la normale ne conserverait pas la même forme.

103 -Si l’on appelle a et p les angles que font les deux demi-diamètres OD, OE avec le grand axe OA, a' et b' leurs longueurs, on a, d’après l’équation (3) du n° 144,

.... a! * cos 1 a a' * sin a

V'cos'p V'sin'ï v 1 a1 ' b'

Les deux diamètres étant conjugués, on a, en outre, la relation

tanga tanÿ p = — — ,

ou

.. .. cos a cos p sin a sin fl

Des deux angles a et p, l’un étant aigu, l’autre obtus, nous

supposerons a aigu, p obtus

On a ainsi trois relations entre les quatre quantités variables

a, p, a' , b1, dont une seule est arbitraire. En combinant ces relations de diverses manières, on obtient différents théorèmes.

164 — En multipliant par a ! b' les deux membres de l’équation (11), on peut l’écrire sous la forme suivante

a cos a a

a' stn a

b' sin p — b1 cos p *

chacune de ces fractions est égale à une fraction ayant pour numérateur la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs, et pour dénominateur la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs; en vertu des équations (9) et (10) ces deux sommes étant égales à Puni té, on a

al cos a

a ' sm a

b' sin p — b'cosp a

d’où

al cos a a

b1 sin p

a' stn a b'cosp

Si dans l’équation (9) on remplace a S!n “■ par la quantité

égale ■

b'cosp

, on a

(12) a'scos’a-f- b/,cos3p = a*;

si dans la même équation, on remplace - ™:<! — par la quany sin p

tite égalé — on a aussi

(13) a,tsinia -f b',stn*p = b».

Les deux équations (12) et (13) signifient que la somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués quelconques sur chacun des axes est constante et égale au carré de cet axe.

En ajoutant les deux équations (12) et (13) membre à membre, on obtient l’équation