L1V. 111, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE

U n’est pas nécessaire que le point M soit situé sur la droite mobile entre les points C et D ; il peut être situé sur le prolongement. Considérons la droite C'D' dont les deux points C' et D' glissent sur les deux droites rectangulaires OX et OY, et cherchons le lieu décrit p^r le point M. Si l’on appelle a et b les distances MD' et MC', les triangles semblables MPC', D'QM donneront, comme précédemment

MP MC' b'Q Miy’ ou

C’est sur cette propriété que repose la construction d’un petit instrument appelé compas elliptique. Deux pointes sont fixées en deux points C et D, pris à volonté sur une droite CD, et un crayon au point M ; les deux pointes glissent dans des rainures pratiquées sur deux droites rectangulaires OX et OY ; le crayon placé en M décrit l’ellipse d’un mouvement continu.

178—11 est à remarquer que la normale à l’ellipse au point M passe par le point d’intersection K des perpendiculaires élevées par les points C et D sur les deux droites fixes. En effet, si l’on appelle a-, et yt les coordonnées du point K, les triangles semblables MPC, DQM, donnent

d’où

Vt — >J __a'y

Ainsi le coefficient angulaire de la droite KM est égal à celui de la normale à l’ellipse au point M.

— On peut généraliser ce théorème et l’énoncer ainsi : Quand deux points E, F, d’un plan mobile glissent sur deux droites OA, OB, situées dans un plan fixe, un point quelconque du plan mobile décrit une ellipse (fig. 96). Considérons une

position particulière du plan mobile; aux points E et F élevons des perpendiculaires sur les droites OA et OB, et soit K le point de concours de ces perpendiculaires ; le cërcle décrit sur OK comme diamètre passe par les points E et F. La dioite EF étant constante, ainsi que l’angle EOF, le diamètre du cercle est constant. Nous remarquons d’abord que tout point D, situé sur le cercle, décrit une droite OY ; car, pendant le Fig. 9fi. mouvement, les longueurs des côtés

du triangle DEF restant invariables, l’angle DEF conserve la même valeur et par suite égale l’angle DOF ; ainsi le point D décrit la droite OY.

Considérons maintenant un point quelconque M du plan mobile. Joignons ce point au centre I du cercle et marquons les deux extrémités G et I) de ce diamètre. Eu vertu de ce qui précède, les deux points G et D glissent sur les deux droites rectangulaires OX et OY ; on en conclut que le point M décrit une ellipse dont les axes, égaux au double des distances MC et MD, sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires OX et OY. En particulier le point 1 décrit un cercle.

Les perpendiculaires élevées par les points C et D sur les droites OX et OY se coupent au point K ; il en résulte que la droite MK est normale à l’ellipse au point M.

Si l’on considère les ellipses décrites par différents points du plan mobile, on voit que les normales à toutes ces ellipses aux points correspondants passent par le même point K. Le lieu du point K, point de concours des normales, dans le plan fixe est un cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à la distance constante OK.

EXERCICES

1<> Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués d’une ellipse.