LIV. III, CHAP. IV.— DE L'ELLIPSE

Soient

y = mx, y = m'x

les équations de deux diamètres conjugués OA, OB ; d’après la remarque faite au n<> lj®les coefficients angulaires seront liés par la relation J

mm = —

Si dans ces équations on fait x = a', on trouve DP = — ma', DQ = m'a' , d’où

DP x DQ = — mm' a11 = b'*.

175 — Supposons que les deux diamètres conjugués OA et OB soient les axes de l’ellipse. Le cercle décrit sur PQ comme diamètre passe par le point 0, et l’ordonnée DH, perpendiculaire à PQ, est égale à OE. 11 en résulte un moyen facile de construire les directions des axes, quand on connaît deux diamètres conjugués OD et OE. Par le point D on mènera une parallèle à OE ; cette parallèle sera tangente au point D, on élèvera sur cette droite une perpendiculaire DU égale à OE, et on décrira un cercle ayant son centre sur PQ et passant par les points 0 et H ; les droites OP et OQ qui vont du centre aux deux points P et Q, où le cercle coupe la tangente, donneront les directions des axes.

476—11 reste à déterminer leurs grandeurs.

Des relations

a8 -(- 6’ = a/8 -f-6'8 ab = a'b1 sin ô,

démontrées aux nos 164 et 165, on déduit (o — b) 8 = a'8 -f 6's — 2 a'b' sin 0 = a'8 + 6'8 — 2 a’b1 cos (b —

(a -(- è)*= a/8 + 6'* -{- 2 a'b' sin 0 = a'* -f- è's — 2 a’b' cos — 9^ .

On voit par ces formules que la longueur a — f» est le troi-

sième côté d’un triangle dont les deux autres côtés sont égaux

à a' et à b' et dont l’angle compris est O — Ce triangle est

le triangle ODH ; car l’angle ODH est égal à 0 — et les deux

côtés DO et DH sont égaux à a! et lÆ^insi le troisième côté OH donnera a — b. De même a + 6 >est le troisième côté d’un triangle dont les deux autres côtés sont égaux à a> et à b' et l’angle compris supplémentaire du précédent ; ce triangle est le triangle ODK, que l’on obtient en prolongeant la perpendiculaire DH d’une longueur égale à elle-même ; le troisième côté OK donnera a -f- b. Si du point O comme centre, avec OH pour rayon, on décrit un cercle, la longueur Kl sera égale au grand axe 2 a, la longueur KL au petit axe 2 b.

On peut remarquer que le grand axe OA est la bissectrice de l’angle HOK, le petit axe la bissectrice de l’angle supplémentaire.

DESCRIPTION DE L’ELLIPSE D’iN MOUVEMENT CONTINU.

17 7 — Lorsque les deux extrémités d’une droite CD de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires OX OY, m» point M de cette droite décrit une ellipse (fig. 95).

Prenons pour axes des coordonnées les doux droites fixes; appelons a et 6 les deux longueurs constantes MD, MC, x et y

les coordonnées variables du point M. Les triangles semblables MPC, DQM donnent