CHAPITRE V
De l’Hyperbole.
180— Construisons maintenant le lieu défini par l’équation Mx* -f-Nÿ‘ + F, = 0,
dans laquelle M et N ont des signes contraires. Nous supposerons M positif, N négatif et égal à — N'. Si F, est égal à zéro, l’équation
M®‘ — N'ÿ^O, résolue par rapport à y, donne
elle représente deux droites passant à l’origine. Le cas où F, est positif se ramène au cas où F, est négatif par la permutation des axes, ce qui revient à remplacer dans l’équation y par x et x par y ; nous poserons donc F, = — H; l’équation prend la forme
Mx* — N'y*=H
dans laquelle M, N' et H sont des nombres positifs.
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires; l’axe des x est donc un axe de symétrie de la courbe; il en est de même de l’axe des y. On
L1V. III, CHAPs V.— DK L'HYPERBOLE. 157
en conclut que l’origine est centre de la courbe ; on peut démontrer cette dernière propriété en observant que si l’équation est vérifiée par les coordonnées a: et y d’un point, elle est vérifiée également par les coordonnées —x et — y du point symétrique
En résolvant l’équation par rapport à y on obtient
Ma:* — H N'
Pour que y soit réel il faut que la valeur numérique de x soit supérieure à
Portons donc sur l’axe X'X, à partir
de l’origine, deux longueursOA, OA' égales à
a|/§,et,
parles
points A et A', menons des parallèles à OY (fig. 97); la courbe n’a aucun point entre ces deux parallèles. Quand #=0A, l’ordonnée y est nulle, ce qui donne le point A ; si l’on fait croître# indéfiniment a partir de OA, la valeur numérique de y croit aussi indéfiniment à *‘8 97‘ partir de zéro ; on a ainsideux
branches de courbe infinies, AD' et AD’.
En faisant varier x depuis — OA' à — oo , on obtient les deux nouvelles branches A'E, A'E' symétriques des précédentes par rapport à OY. Ces quatre branches forment l’hyperbole qui a pour axes de symétrie les deux droites X'X, Y' Y; le premier de ces axes rencontre seul la courbe; on l’appelle axe transverse , le second est l’axe non traverse ou l'axe imaginaire; les points A et A' sont les deux sommets de
la courbe. Si l’on pose, pour abréger a = j/rj, 6 = |/ tt,
l’équation se met par la forme
Les dimensions de l’hyperbole dépendent uniquement des deux lignes a et b ; on dit que ces deux paramètres sont les longueurs des demi-axes de la courbe, le premier est le demiaxe réel, le second le demi-axe imaginaire.
181— le* carrés des ordonnées perpendiculaires à l'axe transverse sont entre eux comme les produits des segments correspondants formés sur cet axe.
En effet de l’équation (1) on déduit
xî — as a5’
ou
donc
