LIV. III, CHAP. VI.— DE LA PARABOLE

Par les points P, P'... menons des perpendiculaires à l’axe AX; par les points N, N'... des perpendiculaires à AY ; les points de rencontre M, M'... sont des points de la parabole.

205— Des relations

Fp’ = 2;>AP, FP’‘ = 2pAP',

on déduit

MP* AP Ff’ A;P'

Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe de la parabole sont entre eux comme les segments de l’axe compris entre le sommet et les ordonnées.

Par le point M de la courbe menons une parallèle à l’axe, et imaginons qu’un point mobile parcoure cette parallèle. Si dans la fonction

y' — Vpx

on remplace x et y par les coordonnées du point mobile, cette fonction se réduira à zéro lorsque le mobile sera en M, elle aura une valeur positive pour une position du mobile extérieure à la courbe et une valeur négative pour une position intérieure.

206 — Nous avons vu que les branches infinies de l’byperpole ont des asymptotes ; il n’en est pas de même dans la parabole. Et d’abord, puisque y augmente indéfiniment avec x, il n’y a pas d’asymptote parallèle à l’axe de la parabole. En second lieu, soity, = aa;-{- b l’équation d’une droite quelconque oblique à l’axe, la différence des ordonnées des points de la droite et de la courbe qui correspondent à une même abscisse est égale à

ax + b — / 2 px et peut se mettre sous la forme

Quand a; augmente indéfiniment, le premier facteur augmentant indéfiniment, et le second tendant vers la valeur a diffé-

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, rente de zéro, le produit augmente indéfiniment. Donc il n’y a pas non plus d’asymptote oblique à l’axe.