L1V. I, CHAP. II. — EXEMPLES

Il est aisé de voir que la droite AA'(tig. H) menée par les deux foyers est un axe de l’ellipse. Car, si l’on considère les

deux points M et M' déterminés par l’intersection de deux cercles décrits des foyers F et F' comme centres, ri on a deux triangles égaux FMF', FAIT, qui coïncident lorsqu’on fait tourner la partie supérieure de la Fie- droite AA', pour la rabattre sur la

partie inférieure ; le point Al vient donc en Al'; et comme il en est de même pour tous les points deux à deux, on voit que la demi-ellipse AMA' s’applique exactement sur l’autre moitié AAI' A'. Ainsi la droite AA' est un axe de l’ellipse.

On appelle sommets les points A et A' où Taxe coupe la courbe.

Nous avons, dans la construction de l’ellipse par points, porté sur l’axe, à partir du foyer F', la longueur F'K égale à la somme constante. Le point A, milieu de FK, appartient à l’ellipse; car, si l’on remplace la distance AF par son égale AK, on voit que la somme des distances AF' et AF de ce point aux deux foyers est égale à la somme constante F'K; ainsi le point A est l’un des sommets.

De même, si l'on porte sur l’axe, à partir de l’autre foyer F, la longueur FK' égale à F'K, et si l’on prend le milieu de F'K', on aura le second sommet A'. Les deux distances AF et A'F' sont égales comme moitiés de distances égales FK,F'K', et les deux sommets A et A' sont également distants des deux foyers F et F'.

11 faut remarquer que la longueur AA' est égale à la somme constante des distances de chacun des points de l'ellipse aux deux foyers. Car, si l’on remplace A'F' par son égale AF ou AK, on voit que la longueur AA' est égale à la somme constante F'K.

15— L’ellipse admet un second axe, la perpendiculaire BB' élevée sur le milieu de la droite FF'. En effet, du foyer F'

comme centre, avec un rayon égal à FM, décrivons un premier cercle, et du foyer F avec un rayon égal à F M un second cercle; ccs deux cercles, par leur intersection, détermineront deux nouveaux points N et N' de l’ellipse. Les deux triangles FMF', F'NF sont égaux , comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. Faisons tourner la partie BAB' de la figure autour de BB' comme charnière, pour lu rabattre de l’autre côté; la droite OF s’applique sur OF'; l’angle OFM étant égal a OF'N dans les deux triangles égaux , la droite FM prend la direction F'N ; et, comme ces deux droites sont égales, le point M tombe en N. Ainsi , la partie BAB' s’applique exactement sur l’autre moitié BA'B', ce qui montre que la droite BB' est aussi un axe de l’ellipse.

On détermine les deux sommets B et B' par l’intersection de deux cercles égaux décrits des foyers comme centres, avec un même rayon égal à la moitié OA de AA'. Car, les deux distances BF et BF' étant égales entre elles, chacune d’elles est égale a la moitié de la somme constante, et par conséquent à la moitié de AA'. La longueur BB’ est évidemment plus petite que AA' ; et, en effet, la ligne droite BB' est plus petite que la ligne brisée BF + FB', qui est égale à AA'.

Les deux axes divisent l’ellipse en quatre parties égales.

16 — On appelle centre d’une courbe un point tel que tous les points de la courbe sont situés deux à deux sur une droite passant par le centre, et à égale distance de part et d’autre.

Le point O, intersection des deux axes, ou milieu de la distance FF' des foyers, est centre de l’ellipse. En effet, soit M un point quelconque de l’ellipse; joignons MO et prolongeons cette droite d’une longueur ON' égale à OM; les deux diagonales FF', MN' se coupant mutuellement en deux parties égales, le quadrilatère FMF'N' est un parallélogramme, et les côtés opposés sont égaux. La somme des distances N'F N'F' du point N' aux deux foyers étant égale à la somme MF' -f- MF, le point N' appartient aussi à l’ellipse. Ainsi, les deux points M et N' de l’èflipse sont situés sur une droite MN' passant par