CHAPITRE VII

foyers et Directrices.

215 — Proposons-nous d’abord la question suivante :

Étant donnés un point fixe F et une droite fixe DE (fig. lit), trouver le lieu du point dont les distances an point fixe et à la droite fixe sont entrç elles dans un rapport constant.

Traçons dans le plan des axes rectangulaires quelconques; appelons a et p les coordonnéesdu point F, et soit mx+xy+p=zO l’équation de la droite DE; les distances d’un point quelconque M du lieu au point F Fig. m. et à la droite DE sont données par les formules

MF = v/ (*-«)* + (»

MP— mx+n,J+P.

si l’on désigne par k le rapport constant — , le lieu aura pour équation

mx + ny+p

ou

k * (ms + «// + />)*

Ce lieu est une courbe du second degré. La quantité B1— TAC, qui sert à distinguer l’espèce de la courbe, se réduisant à A(k*— T ) , J# courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le rapport k est inférieur, égal, ou supérieur à l’unité.

Le point F s’appelle foyer de la courbe, la droite DE directrice.

210—11 est aisé de voir que la perpendiculaire FD abaissée du foyer sur la directrice est un axe de la courbe (fig. 112).

e Car soit M un point quelcoqque çjq lieu ; le point M', P symétrique du premier par rapport à la droite FD, ap- D partiendra aussi au lieu, p’ puisque les distances M'F, MP' sont respectivement Fic- 1 12- égales aux distances MF, MP.

Considérons d’abord le cas où k est plus petit que 1 ; le lieu est une ellipse. Sur l’axe FD, on peut déterminer deux points A et A', tels que