FOYER ET DIRECTRICE DE LA PARABOLE

243— Cherchons maintenant le foyer et la directrice de la parabole. Supposons la courbe rapportée à son axe et à la tangente au sommet ; son équation sera

y'=‘ïpx.

Nous savons, d’après la remarque faite au n» 216, que le foyer doit être situé sur l’axe de la parabole et la directrice per-

peudiculairc à cet aie; il en résulte que la distance 8 du foyer F à un point quelconque M de la courbe doit s’exprimer par une fonction entière et du premier degré de l’abscisse du point M. En désignant par o l’abscisse du foyer, on a 8*={æ—

ou, en remplaçant y * par sa valeur tirée de l’équation de la courbe,

8* = (æ— a)' + ‘2pX=.Xt +2(p — a)x + a*.

Pour que ce polynôme soit un carré parfait, il faut que la condition

soit remplie; d’où

On obtient ainsi un seul foyer F situé sur l’axe de la parabole et à une distance du sommet A égale à la moitié du paramètre (fig. 135).

Si l’on remplace a par sa valeur, il vient

è'=x'+p x+lj = (x + |j ;

d’où

En égalant à zéro l’expression de 8, on obtient l’équation de la directrice

La directrice Diy est à l’axe perpendiculaire et à une distance AD du sommet égale à AF.

Le rapport constant 4=/ m’-f-n’ se réduit ici à l’unité; ainsi chacun des points de la parabole est également distant du foyer et de la directrice.