MF = MF' — F'N=MN

Pour un point M' delà seconde branche, on a

M'F — M'F' =2 a= F'N' , et par suite

Fic- *î9- Dans le premier cas, la portion

MN de la normale mesure la distance du point M au cercle et la première branche d’hyperbole est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur.

TIIÉORÈME IV.

230 — La tangente à l’hyperbole est bissectrice de l’angle des rayons vecteurs gui vont du point de contact au.r deux foyers.

Prenons deux points voisins M et M' sur l’hyperbole (fig. 130).

Du foyer F, comme centre, avec un rayon égal à FM, décrivons un arc de c cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM'; du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à F'M, décrivons un arc de cercle qui coupera en D le rayon vecteur F'M' ; quand on passe du point M au point M', les deux rayons vecteurs FM, F'M éprouvent des accroissements égaux à M'C ctàM'D; puisque la différence est constante, ces deux accroissements sont égaux entre eux.

Sur la sécante MM', prenons une longueur arbitraire MG, et, par Je point G, menons GH parallèle à la corde MC et GK parallèle à la corde MD. A cause des parallèles, on a

puisque les deux longueurs M'G et M'D sont égales, il en résulte que les deux longueurs M'H et M'K sont aussi égales. Lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM' tend vers une position limite qui est la tangente à l’hyperbole au point M; en même temps, les cordes MC et MD deviennent tangentes aux cercles décrits des foyers comme centres, et par conséquent perpendiculaires à FM, F'M; leurs parallèles GH, GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et les angles H et K deviennent droits. Les deux triangles M'GII, M'GK, qui ont un côté M'G commun et un côté M'H égal à M'K, deviennent donc rectangles, et par conséquent égaux entre eux ; il en résulte que les angles GM'H, GM'K deviennent égaux; ainsi la tangente à l’hyperbole au point M est bissectrice de l’angle FMF'.

237 — Corollaire I. L’hyperbole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété; car en appelant « et v les rayons MF et MF', Au et Av leurs accroissements, on a

Av MD M'K

Au ÎTC MTÉ

Si l’on suppose que les angles GMH, GM'K deviennent égaux, quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux triangles M'GII, M'GK deviennent égaux, ainsi que les côtés M'H et M K. On a donc

lim — = 1 .

Au

En remontant à la fonction primitive, on a

d’où

23 S — Corollaire IL Une ellipse el une hyperbole homofocales se coupent à angle droit. On dit que deux courbes du

second degré sont homofocales lorsque leurs foyers coïncident; on appelle angle de deux courbes l’angle de leurs tangentes au point d’intersection. Soit M le point d’intersection d’une ellipse et d’une hyperbole qui ont mêmes foyers F, F' (Dg. 131); la bissectrice MN de l’angle FMF' est d’une part normale à l’ellipse, d’autre part tangente à l’hyperbole; donc les tangentes MT, MN aux deux courbes sont perpendiculaires entre elles.

Fie 131.

PROBLÈME V

239— Mener une tangente à l’hyperbole par un point M donné sur l’hyperbole.

Sur le rayon vecteur MF' prenez une longueur MH égale à l’autre rayon vecteur MF, et par le point M menez une droite MT perpendiculaire à FH ; vous aurez la tangente demandée (fig. 132).

Remarque. Il est bon de remarquer que la tangente est tout entière située entre les deux branches de l’hyperbole. Soit P un point quelconque de cette tangente, on a PF— PH<F'H, et par suite

PF — PF < 2a;

donc le point P est situé entre les deux branches de l’hyperbole. Une branche d’hyperbole, étant située d’un même côté de chacune de ses tangentes, est une courbe convexe.

La tangente étant perpendiculaire sur le milieu I de FH, le point I est la projection du foyer F sur la tangente. La droite 01, étant parallèle à F’H et égale à la moitié de FOI, est constante; il en résulte que le lieu des projections des foyers sur les tangentes est le cercle décrit sur l’axe transverse comme diamètre.

Fig. 13*.

PROBLÈME VI

240 — Mener des tangentes à l’hyperbole par un point donné P situé entre les deux branches de l’hyperbole.

Soit PM l’une des tangentes demandées (lig.133); si du rayon

vecteur MF' on retranche x MH=MF, on sait que la

\m/ / / tangente PM est perpen-

\ /*LJr diculaire sur le milieu de

~ * FH. La question revient à

déterminer le point H; ce point se trouve à l’intersection du cercle décrit du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2 a, et du cercle décrit du point P comme centre avec un rayon égal à PF.

Les deux cercles se coupent en un second point H'; en menant du point P une perpendiculaire surFH', on aura une seconde

Fig. 133.

tangente PM', dont on déterminera le point de contact à l’aide

de la droite F'H'.

Lorsque le point P est situé sur l’une des asymptotes, l’une des tangentes menées par le point P coïncide avec cette asymptote, et le point de contact s’éloigne à l’inlini.

PROBLEME vu.

241— Mener à l'hyperbole des tangentes parallèles à une droite donnée OL.

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2a, on décrira le cercle directeur; du foyer F, on mènera une droite perpendiculaire à OL (fig. 134); cette droite coupera le

cercle en deux points H et II'; par les milieux des droites FH et FH', on mènera des parallèles à OL; ces parallèles seront les tangentes demandées. Les droites F'H, F'H' détermineront les points de contact M et M'.

Pour que le problème soit possible, il faut que la droite donnée OL, que l’on peut supposer menée par le centre, ne rencontre pas l’tiyperbole; alors la perpendiculaire FH' menée par le foyer F coupera le cercle directeur en deux points.

Fig. 134.

PROBLÈME VIII

242 — Trouver les points de rencontre d'une droite et d’une hyperbole définie par ses foyers et son axe transverse.

La construction est exactement la même que pour l’ellipse.