THÉORÈME VI

245— La tangente à laparabole fait des angles égaux avec la parallèle à l’axe et le rayon vecteur menés par le point de contact.

Prenons sur la parabole deux points voisins M et M' (fig. 136),

que nous joindrons au loyer et desquels nous abaisserons des perpendiculaires ME, M'E' sur la directrice. Du foyer F comme centre, avec FM pour rayon, décrivons un arc de cercle MC, et par le point M menons une parallèle MC' à la directrice. La longueur M'C est la différence des deux rayons vecteurs FM et FM'; c’est l'accroissementqu’éprouve le rayon vecteur FM quand on passe du point M au point MC De même la longueur M'C' est la différence des deux perpendiculaires ME et M'E' ; c’est l’accroissement qu’éprouve la perpendiculaire ME quand on passe du point M au point M'. Comme le rayon vecteur FM reste constamment égal à la perpendiculaire ME, il en résulte que les deux accroissements M'C et M'C' sont égaux entre eux.

Menons la sécante MS par les deux points M et M', et traçons la corde MC dans le cercle décrit du foyer comme centre. Sur la sécante portons une longueur arbitraire MG, et, par le point G, menons GH parallèle à MC et GK parallèle à MC'. A cause des parallèles, on a les rapports égaux

Fig. 136.

puisque les deux longueurs M'C et M’C' sont égales, les deux longueurs M'H et M'K, qui leur sont proportionnelles, sont aussi égales.

Supposons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M; la sécante MS tendra vers la tangente MT à la parabole; la corde MC prolongée tendra de même vers la tangente au cercle, qui est perpendiculaire au rayon FM; la parallèle GH prendra de même une direction perpendiculaire à FM, et, comme FM' coïncidera avec FM, l’angle H deviendra droit. On voit par là que les deux trian-

gles M'GH, M'GK ont pour limites deux triangles rectangles MGH, MGK (fig. 137); ces deux triangles rectangles, ayant l'hypoténuse MG commune, et les côtés MH et MK égaux entre eux comme limites des longueurs égales M'H et M'K, sont égaux; d’où l’on conclut l’égalité des deux angles GMH, GMK. Ainsi la tangente MT à la parabole est bissectrice de l’angle PME, formé par le rayon MF et la perpendiculaire ME abaissée du point de contact sur la directrice. Si l’on prolonge EM suivant ML, les deux angles GMK, T'ML, étant égaux comme opposés par le sommet, on voit que les deux angles TMF, T'ML, formés par la langenle avec le rayon vecteur et la parallèle ML à l'axe, sont égaux.

[Jk

246 — Corollaire I. Supposons qu’une lumière soit placée T, au foyer F (fig. 138) de la parabole; les rayons lumineux, partant du foyer F, se réfléchissent sur la parabole en faisant un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Soit FM l’un de ces rayons; menez la tangente TT à la parabole en ce point; le rayon réfléchi, devant faire un angle LMT égal à FMT, sera parallèle à l’axe AB de la parabole. Ainsi tous les rayons réfléchis seront parallèles à l’axe.

C’est d’après ce principe que l’on construit les réflecteurs employés dans les réverbères et les lanternes des voitures. La surface intérieure, en métal bien poli, est engendrée par une parabole tournant autour de son axe; la lumière est placée au foyer; les rayons lumineux, après leur réflexion, devenant tous parallèles à l’axe, le réflecteur projette un faisceau de rayons parallèles qui se propagent sans se disperser et qui éclairent à une grande distance.

Fig. 138.

Corollaire IL Supposons au contraire que des rayons lumineux, parallèles à l’axe, tombent sur un miroir parabolique; après leur réflexion, ils iront tous converger au foyer.

On emploie les miroirs paraboliques dans la construction des télescopes; l’axe est dirigé vers l’astre; les rayons lumineux venant de l’astre se réfléchissent sur le miroir, et forment au foyer une image très-brillante de l’astre.

On emploie aussi la forme parabolique dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques.

242 — Corollaire III. Réciproquement la parabole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété que la tangente en chacun de ses points fasse des angles égaux avec la parallèle à une droite fixe et le rayon vecteur mené d’un point fixe au point de contact. Imaginons que chacun des points M du plan soit déterminé par sa distance MF au point fixe F et sa distance ME à unedroite DE perpendiculaire à la droite fixeFB(fig. 136); désignons par v et uces deux coordonnées. Quand on passe du point M de la courbe au point voisin M', ces deux coordonnées éprouvent des. accroissements Au=M'C, Ac= M'C/, et l’on a

Av M'T/ M'K

~Au MC AF H"

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite M'M devieut tangente et l’angle H devient droit. Les deux triangles rectangles GMH, GMK (fig. 137), limites des deux triangles GM'H, GM'K, sont égaux, comme ayant l’hypoténuse commune et l’angle GMH égal à GMK par hyppothèse. On a donc

Au

et en remontant à la fonction primitive «=«-(- C. En déplaçant la droite DE d’une quantité égale à la constante C, on aura v=u.

PROBLÈME IX

248— Mener une tangente par un point M donné sur la parabole.

Première méthode. Soit T (fig. 139) le point où la tangente rencontre le prolongement de l’axe, ME la perpendiculaire bh. U

abaissée du point M sur la directrice. On sait que la tangente est bissectrice de l’angle FME; l’angle FTM étant égal à l’anglealterne-interne TME, et par suite à l’angle FMT, il en résulte que le triangle TFM est isocèle, et les deux côtés FM et FT égaux entre eux.

Ainsi, pour construire la tangente au point M, il suffit de porter sur l’axe une longueur FT égale au rayon vecteur FM et de joindre TM.

Cette méthode ne convient pas quand le point M est trèsvoisin du sommet A de la parabole, parce que les deux points M et T, étant alors très-rapprochés l’un de l’autre, ne déterminent pas la tangente avec une assez grande précision. Dans ce cas on emploiera de préférence la méthode suivante.

Deuxième méthode. La tangente MT, divisant en deux parties égales l’angle au sommet M du triangle isocèle FME, est perpendiculaire sur le milieu de la base FE.

Ainsi, pour construire la tangente, il suffit d’abaisser du point M une perpendiculaire ME sur la directrice, et de mener du point M une perpendiculaire sur la droite FE.

Il résulte de celte construction que la tangente au sommet A de la parabole est perpendiculaire à l’axe de la parabole.

Remarque. Il est bon de remarquer que tous les points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés à l’extérieur de la parabole. Soit P un point quelconque de la tangente ; la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de FE, les distances PF, PE sont égales; mais l’oblique PE est plus grande que la perpendiculaire PK; donc la distance PF est plus grande que PK, et par suite le point P est à l’extérieur de la parabole. lien résulte que la parabole est une courbe convexe.

240 — Corollaire. Le lieu des projections du foyer sur la tangente à la parabole est la tangente au sommet. On voit, en

Fig. 139.

L1V. III, CHAI*. VII.— FOYERS ET DIRECTRICES. 211 effet, que le point I, milieu de FE et projection du foyer sur la tangente, se trouve sur la parallèle à la directrice menée par le point A, milieu de FD, c’est-à-dire sur la tangente au sommet A.

PROBLÈME X

2 50 — Mener une tangente à la parabole par un point extérieur I’.

Supposons le problème résolu et soit PM (lig. I AO) la tangente demandée. Si l’on abaisse du point M une perpendiculaire ME sur la directrice et si l’on joint FE, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de FF]; il en résulte que la distance PE est égale a PF, et l’on en déduit la construction suivante.

Du point P comme centre, avec un rayon égal à la distance PF de ce point au foyer, décrivez tin cercle qui coupera la directrice au point E. Joignez FE, et du point P menez une perpendiculaire sur la droite FE, vous aurez la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l’interseelion de la tangente avec une parallèle à l’axe menée par le point E.

Le cercle coupe la directrice en un second point E'. On mènera de même du point P une perpendiculaire sur FE' et l’on aura une seconde tangente PM'.

Ces constructions peuvent être effectuées sans que la parabole soit tracée. Il suffit que l’on connaisse le foyer et la directrice.

PROBLÈME XI

251 — Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée KL.

Supposons le problème résolu et soit MT la tangente demandée (fig. l it). Si du point de contact M on abaisse une

perpendiculaire ME sur la directrice et que l’on joigne FE, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de FE. On en déduit la construction suivante :

Du foyer F abaissez une perpendiculaire sur la droite donnée KL jusqu’à sa rencontre avec la directrice en E, et sur le milieu de FE élevez une perpendiculaire MT, vous aurez la tangenlc demandée. On déterminera le point de contact M en menant par le point E une parallèle EM à l’axe.

PROBLÈME XII

259 — Trouver les points de rencontre d'une droite donnée et d’une parabole definie par son foyer et sa directrice.

Prenons le point F, symétrique du foyer par rapport à la droite donnée (fig. 142). Le point M, étant également distant des points F, F, et de la directrice , est le centre d’un cercle passant par ces deux points et tangeni à la directrice. Pour avoir le point de contact E, on porte sur la directrice à partir du point 1 une longueur 1E moyenne proportionnelle entre les deux longueurs 1F, IF,.