THÉORÈME VII

253 — La limite d’une ellipse ou d’une hyperbole dont le paramètre conserve une valeur finie, tandis que le grand axe ou l’axe transverse augmente indéfiniment, est une parabole.

Nous avons vu que, dans la parabole, l’ordonnée du foyer est égale au paramètre p ; par analogie on appelle paramètre d’une ellipse ou d’une hyperbole l’ordonnée du foyer qui est

égale à—, et ou désigne ce paramètre par p. L'ellipse rap-

portée à son grand axe* et à la tangente au sommet, a une

équation de la forme , 2 b' bt ,

ou

fi

M* = 2px — — X*.

~~T Supposons maintenant que le sommet A restant fixe, et le paramètre p conservant une valeur finie , on fasse augmenter le grand axe 2a in-

Fic ,43- définiment , l’équation de

l’ellipse se réduit à l’équation

y*=2px,

qui représente une parabole. Si l’on considère les points qui correspondent à une même valeur de x, on voit que chaque point de la parabole est la position limite vers laquelle tend le point correspondant de l’ellipse, quand on fait augmenter a indéfiniment; ce qu’on énonce en disant que la parabole est la limite de l’ellipse.

L’hyperbole, rapportée à son axe transverse et à la tangente au sommet A, a de même pour équation

y* =2px+— xJ;

si l’on fait augmenter a indéfiniment, le paramètre p, conservant une valeur finie, cette équation se réduit aussi à

y*=2px.

La parabole est la limite de la branche d’hyperbole à laquelle appartient le sommet A; l’autre branche s’est éloignée indéfiniment vers la gauche.

Dans ce qui précède nous avons supposé que le paramètre de l’ellipse ou de l’hyperbole conserve une valeur finie. On arrive à la même conclusion, en supposant que la distance AF du sommet A au foyer voisin F conserve une valeur finie. En effet, en appelant a cette distance, on a, dans l’ellipse, c—a — <*, et par suite

6* fl5 — c* (a — c) (a+c) (a a.\

le paramètre ;> ayant pour limite la quantité finie 2 a, l’équation de l’ellipse se réduit à y' — Aax. Il en est de même pour l’hyperbole.

254 — Remarque. Cetle transformation de l’ellipse en parabole a une grande importance. Elle permet de déduire des propriétés de l’ellipse celles de la parabole comme cas particuliers. Ainsi nous avons vu que dans l’ellipse le diamètre, ou le lieu des milieux d’une série de cordes parallèles, est une droite passant par le centre; si l’on suppose que le centre s’éloigne à l’infini, l’ellipse se change en parabole, et les diamètres deviennent parallèles à l’axe.

L’ellipse est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur décrit du foyer F' comme centre. Le foyer F' s’éloignant à l’infini, le cercle directeur devient la directrice de la parabole.

La tangente à l’ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont du point de contact M aux deux foyers; le foyer F' s’éloignant à l’infini, le rayon vecteur MF' devient parallèle à l’axe.