THÉORÈME VIII

255 — Si l’on mène deux tangentes à une courbe du second degré, la droite FP qui va du foyer F au point de concours hv__ P des deux tangentes est bissectrice

de l'angle des rayons vecteurs FM, FM', qui vont de ce foyer aux points contact des deux tangentes, ou de l'angle extérieur, suivant que les deux tangentes touchent une même branche de courbe, ou deux branches différentes.

Considérons deux tangentes PM, PM' à une ellipse (fig. 144) ; prolongeons le rayon F'M d’une longueur MH égale à

MF et de même FM' d'une longueur M'H' égale à M'F ; les. tangentes étant perpendiculaires sur les milieux de FH et de F'H', on a PH=PF et PH'=PF', et les deux triangles F'PH, H'PF sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir : F/H=FH' = 2a, PH=PF, PF'=PH'; on en conclut que les angles PHM, PFM' sont égaux; mais l’angle PHM est égal à PFM; donc les angles PFM, PFM' sont égaux et la droite FP est bissectrice de l’angle MFM'.

Le même théorème a lieu dans la parabole, que l’on peut considérer comme la limite d’une ellipse, et aussi dans l’hyperbole quand les deux tangentes touchent une même branche; mais quand les tangentes touchent deux branches différentes de l’hyperbole, il est aisé de voir que la droite FP est bissectrice de l’angle formé par l’un des rayons vecteurs FM, et le prolongement de l’autre.