ÉQUATION DES COURBÉS DU SECOND DEGRÉ EN COORDONNÉES POLAIRES
200— Nous prendrons pour pôle un foyer F, et pour axe polaire la droite qui va de ce foyer au sommet voisin A de T la courbe.
©Considérons d’abord une ellipse;
prenons pour pôle le foyer F- et pour
axe polaire le grand axe dirigé vers le
sommet voisin A. Nous avons trouvé (n° 218) pour expression de la distance f‘b U8, du foyer à un point quelconque M de
la courbe
la courbe étant rapportée à ses axes ; si l’on projette la ligne brisée OFM sur le grand axe, il vient x—c+ pcosw ;
en remplaçant x par cette valeur dans l’équation précédente
et désignant par e l’excentricité —, on en déduit
^ ? l-fecoso>'
Supposons maintenant qne la courbe soit une hyperbole.
Prenons pour pôle le foyer F7 et pour axe polaire l’axe transverse pris dans la direction F' A'. Nous avons vu (n°233) que la distance du foyer F7 à un point quelconque de la courbe est exprimée par la formule
le signe — s’appliquant à la branche de gauche, le signe -f à la branche Fie- de droite. Projetons sur l’axe trans-
verse OX la ligne brisée OF7M, on a
X— — C+ p COS i».
Il en résulte que la première branche de l’hyperbole est représentée par l’équation
^ P 1 + e cos w’
la seconde par l’équation
Mais si l’on convient de porter les rayons vecteurs négatifs en sens contraire de la direction indiquée par l’angle o>, il est facile de voir que l’équation (t) représente à elle seule les deux branches de l’hyperbole. Soit M' un point quelconque de cette seconde branche, m7 l’angle correspondant A'F7M7, p7 le rayon vecteur F'M7; en vertu de l’équation (2), on a
ç/= — r. Dans l’équation (1), donnons à l’angle w lava-
1 — ecoW
leur w'-f-TC , il viendra
^ t — ecosi»' ^ *
on obtient ainsi pour p une valeur négative — p7; mais la valeur u>7 -J-ir attribuée à w, indique la direction F'M, opposée de F'M7. Si p avait une valeur positive, il faudrait la porter dans la direction F'M,; p ayant une valeur négative — p7, on convient de porter la valeur absolue p’ en sens inverse, c’est-à-dire dans la direction F'M7, ce qui donne le point M7. Il résulte de là que l’équation (1) suffit pour représenter les deux branches de
l’hyperbole, la première par les valeurs positives de p, la seconde par les valeurs négatives.
Considérons enfin le cas où la courbe est une parabole.
Prenons encore pour pôle le foyer F et pour '\vii ; axe polaire la droite FA dirigée vers le sommet. On a (n° 243)
JL
Fig. 150.
d’où l’on déduit
En projetant sur l’axe AX la ligne brisée
AFM, on a, comme précédemment,
X = — -fpCOS^ir — w J= p COS co ;
(3) P~t +CO.So/
Il résulte de ce qui précède que l’équation (1) représente les trois courbes du second degré; la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que l’excentricité e est inférieure, égale ou supérieure à l’unité.
EXERCICES
1° M et M' étant deux points d’une parabole, P le point de concours des tangentes en ces deux points et F le foyer, dé-
