LIV. III, CHAP. VIII.— SECTIONS CONIQUES

droites d’intersection du plan sécant et des plans de contact

sont de même les directrices de l’hyperbole.

3» Supposons entin que le plan sécant soit parallèle à une génératrice du cône , c’est-àdire que la droite AA' soit parallèle à l’arrête SH (fig. 152) ; décrivons une sphère tangente au cône suivant le cercle GH et au plan sécant en F. Soit DE l’intersection du plan sécant avec le plan du cercle de contact GH. Par le point M de la section menons la droite ME perpendiculaire à DE, et la génératrice SM, qui rencontre en L la courbe de contact ; ME sera parallèle à AA' et à S1I ; donc les trois droites ME, SM, SH sont dans un même plan, et les trois points H, L, E sur une même ligne droite. Les deux triangles MLE, HSL sont semblables, et puisque SL = SH FiB. i54. on a aussi ML = ME; mais

ML=MF, comme tangentes à la sphère menées du point M ; par conséquent MF=ME. Ainsi chacun des points de la courbe est également distant du foyer F et de la directrice DE.

Cette méthode, si élégante pour trouver les propriétés des foyers et des directrices dans les courbes du second degré, est due à Dandkun.

SS64— Placer ine coirbe du second degré sir in cône donné. — I» La courbe est une ellipse. Dans le triangle AA'K (fig. 152), on connaît deux côtés AA', AK, qui sont le grand axe

et la distance des foyers, ainsi que l’angle opposé à AA' qui est le complément de la moitié de l'angle au sommet du cône. Comme le grand axe surpasse la distance focale, on peut toujours construire ce triangle; la perpendiculaire sur le milieu de A K détermine le point S, et par suite tout ce qui fixe la position du plan sécant.

2<* La courbe est une hyperbole. Dans le triangle AA'K (fig. 453), on connaît également deux côtés, ainsi que l’angle opposé à l’un d’eux; mais comme le côté opposé à l’angle donné est le plus petit, la construction du triangle n’est pas toujours possible. Il faut que l’on ait a>c cos y (2 a étant l’axe transverse, 2 c la distance des foyers de l’hyperbole, 2y l’angle au sommet

du cône); d’où cosy<-<IeosQ, en appelant 8 l’angle de l’a-

symplote avec le grand axe; donc l’angle des asymptotes doit être plus petit que l’angle du cône.

3° La courbe donnée est une parabole. En joignant le centre O de la sphère au point G, on forme un triangle OGA (fig. 154), dans lequel on connaît le côté AG qui est le demi-paramètre de la parabole, et l’angle OAG complémentaire de y. Après avoir construit ce triangle, on élèvera OS perpendiculaire sur OA jusqu’à la rencontre de AG ; une fois connue la distance SA, le problème est résolu.

En résumé, sur un cône donné on peut placer toutes les ellipses, toutes les paraboles et toutes les hyperboles dans lesquelles l’angle des asymptotes est plus petit que l’angle du cône.

305— Remahque.— Supposons que les sphères employées précédemment soient toujours inscrites dans le cône, mais coupent le plan sécant; il suffit pour cela que les cercles générateurs soient tangents aux deux lignes SA, SA' et coupent AA'; les iulersections des sphères par le plan sécant sont des cercles, et l’on verra, dans le cas de l’ellipse ou de l’hyperbole, que la somme ou la différence des tangentes menées à ces cercles d’un point quelconque de la courbe est constante ;