LIV. III, CHAP. IX.— COUBBES DU SECOND DEGHÉ
Considérons d’abord le cas où, parmi les cinq points donnés, trois ne sont pas en ligne droite. Soient A, B, C, D, E les cinq
points donnés; prenons pour axes des coordonnées les deux droites AB, CD, qui se rencontrent en O.
Appelons ad et x)' les abscisses des points A et B, y' et y" les ordonnées des points C et D, xt et y, les coordonnées du point E. Soit Xx *+ B xy + C y * 4- D a?+ E y +F =' 0> l’équation d’une courbe du second degré. Cette courbe passera par les points A et B, si l’équation
Xx' + Dx+V=Q,
à laquelle se réduit l’équation proposée, quand on fait y= 0, admet pour racines ad et x/1 ; pour cela il est nécessaire et il suffit que les coefficients de l’équation satisfassent aux relations
Fig. 15S.
— — nd t i A 5
De même la courbe passera par les points C et D, si I équation Cyî + Ey + F=0,
que l’on obtient en faisant x=0, admet pour racines y1 et y"; pour cela il est nécessaire et il suffit que les coefficients satisfassent aux relations
ou
Si l'on remplace les coefficients A, I), C, E par les valeurs trouvées, et si l’on divise tous les termes par F, l’équation de la courbe s’écrit
On peut la mettre sous la forme
en posant «=- — y'ôr/'"‘ ®ue"e ^ue ^ va^eur
du paramètre a, l'équation (3) représente une courbe du second degré qui passe par les quatre points A, B, C, D.
La courbe passera par le cinquième point E, si les coordonnées x„ y, de ce point satisfont à l’équation (3), ce qui donne une relation qui détermine la valeur de a. Si l’on attribue à a la valeur ainsi déterminée, l’équation (3) représentera une courbe passant par les cinq points donnés A, B, C, D, E.
Puisqu’on obtient un seul système de valeurs pour les coefficients, il n’y a qu’une seule courbe du second degré qui passe par les cinq points donnés.
Ainsi, par cinq points donnés, dont trois ne sont pas en ligne droite , passe toujours une courbe du second degré et une seule.
268— Lorsque, parmi les cinq points donnés, trois, C, D,E, sont en ligne droite, on peut encore faire passer par ces cinq points, un lieu du second degré; ce lieu se compose du système de deux droites CDE, AB. Il n’y en a pas d'autre que celui-là. Nous savons, en effet (n° 58) , que, lorsqu’une droite a trois points communs avec un lieu du second degré, elle appartient tout entière au lieu. Le premier membre de l’équation du second degré se décomposera en un produit de deux facteurs du premier degré ; les deux équations, que l’on obtient en égalant séparément chacun de ces facteurs à zéro, représentent les deux droites.
Lorsque parmi les cinq points donnés, quatre sont en ligne droite, il y a indétermination. Le lieu se composera de la droite, à laquelle appartiennent les quatre premiers points, et d’une droite quelconque passant par le cinquième point.
