LIV. III, CHAP. IX. — COURBES DU SECOND DEGRÉ

L’équation du second degré renfermera un paramètre arbitraire.

Enfin, si les cinq points donnés étaient en ligne droite, l’indétermination serait encore plus grande ; le lieu , formé de celte droite et d’une autre droite quelconque, dépendrait de deux paramètres arbitraires.

L’équation (2), dans laquelle le paramètre - est arbitraire,

représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points A, B, C, D. Ces quatre points suffisent pour

déterminer une parabole : car la condition - ) = 0

donnera le paramètre -. Si le produit x'od'xjy*' a une valeur positive, on aura deux paraboles passant par les quatre points donnés; mais, si le produit avait une valeur négative, il serait impossible de faire passer une parabole par les quatre points.

ÉQUATION GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ PASSANT PAR QUATRE POINTS DONNÉS.

26® — L’équation (3), qui renferme un paramètre arbitraire o, représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points donnés A, B, C, D, quand on prend pour axe des coordonnées deux côtés opposés du quadrilatère inscrit ABCD (fîg. 136). En général soient A=0, A'=0 les équations de deux côtés opposés AB, CD du quadrilatère, B = 0, B' = 0 celles des autres côtés BC, DA, il est aisé de voir que l’équation

(4) AA' + aBB'=0, dans laquelle a désigne un paramètre arbitraire , représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points donnés. En effet, quelle que soit la valeur attribuée à «, on reconnaît d’abord que la courbe passe par les quatre points ;

car ies coordonnées du point B, par exemple, annulant à la fois facteurs A et B, vérifient l’équation. D'un autre côté, cette équation représenle toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points donnés ; car un cinquième point définit la courte, et l'on peut toujours déterminer le paramètre i de manière que la courbe passe par ce cinquième point.

Il est a remarquer que, parmi les lignes du second degré qui passent par les quatre points donnés , se trouvent trois couples de droites, savoir: le couple des droites AB, CD, le couple BC, DA, et enfin le couple AC, BD.

Les polynômes du premier degré A, A', B, B' désignent, à des facteurs constants près, les distances du point M qui a pour coordonnées x et y, aux quatre côtés du quadrilatère, distances que nous appelerons p, p/, q, q7, de sorte que l’équation (4) peut être mise sous la forme

k étant un rapport constant. 11 en résulte ce théorème : le produit des distances d’un point quelconque d’une courbe du second degré à deux côtés opposés d’un quadrilatère inscrit est au produit des distances aux deux autres côtés dans un rapport constant. En faisant varier le rapport k, on obtient toutes les courtes du second degré circonscrites au quadrilatère ABCD.