LIV. III, CHAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ

du second degré , il suffit d’écrire que l’équation admet la racine double x = x1 ou ij = y' ; l’équation générale des courbes du second degré tangentes aux deux droites données en A et B, pourra se mettre sous la forme

) +axy=°-

On déterminera ensuite le paramètre a par la condition que la courbe passe par le point M.

Ainsi, il existe une courbe du second degré et une seule tangente à deux droites données en deux points donnés, et passant par un point donné.

27Ë. — Cela posé, supposons que les axes des coordonnées aient une position quelconque dans le plan ; désignons par A=0, A'=0 les équations des deux tangentes OA, OB, et par B=0 l’équation de la corde des contacts AB; l'équation (a) AA’ -j- ocB» = 0,

dans laquelle a est un paramètre arbitraire, représentera toutes les courbes du second degré tangentes aux deux droites données en deux points donnés. En effet, si l’on cherche les points communs à la courbe et à la droite A = 0, l’équation (5) se réduit à B = 0 , ce qui donne un seul point A; ainsi la courbe est tangente à la droite OA au point A; elle est de même tangente à la droite OB au point B. D’un autre côté, l’équation (5) représente toutes les courbes du second degré tangentes à ces deux droites aux points A et B; car on peut déterminer le paramètre a par la condition que la courbe passe par le point M.

Si l’on appelle p et p' les distances d’un point quelconque M de la courbe aux deux tangentes, q la distance à la corde des contacts AB, l’équation (5) peut se mettre sous la forme

Il en résulte ce théorème : le rapport du produit des distances d’un point quelconque d’une courbe du second degré à deux

tangentes au carré de la distance de ce point à la corde des contacts, est constant.

ÉQUATION GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ PASSANT PAR TROIS POINTS DONNÉS.

272— Soient A=0, B=0, C=0 les équations des côtés bc, ca, ab du triangle abc ; toutes les courbes du second degré qui passent par les trois points a, b, c, seront représentées par l’équation

(6) «BC + pCA + yAB = 0,

qui renferme deux paramètres arbitraires, savoir les rapports

de deux des trois coefficients «, P, y au troisième. On voit d’abord que toute courbe représentée par l’équation (6) passe par les trois points a, b, c; d’autre part, on peut déterminer les deux paramètres de manière à assujettir la courbe à passer en outre par deux points pris à

2 7 3— Cherchons l’équation de la tangente au point a; toute droite passant en ce point a une équation de la forme C + XB=0. Les points d’intersection de cette droite et de la courbe sont donnés par le système des deux équations C + XB = 0, B [XaB + (Xp — y) A] = 0, qui se décompose en deux ; l’un B = 0, C = 0 fournit le point a; pour que l’autre

système fournisse aussi le point a, il faut que l’on ait X=^-;

ainsi la tangente au point a a pour équation

UV. III, CHAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ. 237 De même les tangentes en 6 et c ont pour équations

Les points d’intersection p, q, r des tangentes avec les côtés opposés sont donnés par les trois systèmes d’équations

on voit que ces trois points sont situés sur la même droite

Les trois tangentes forment un triangle circonscrit a, 6,c,. Le point a,, intersection des tangentes en 6 et c, est défini par les équations de ces deux tangentes; en les retranchant membre à membre, on a une nouvelle droite

passant par le point a, ; mais cette droite passe aussi par le point a ; c’est la droite oa,. De même les droites 66, , cc, ont pour équations

On voit que ces trois droites passent par un même point », représenté par les équations