L1V. IV, CHAP. III.— ASYMPTOTES

L’équation <p (x) = 0 devient

Cette équation admet la racine double x = 1, or quand x s’approche de l’unité les deux valeurs des y sont imaginaires, la droite x = l n’est donc pas asymptote.

ASYMPTOTES NON PARALLÈLES A L’AXE DES y.

319— Considérons une branche de courbe infinie ayant une asymptote non parallèle à l’axe des y; une pareille asymptote a pour équation

y, = cx + d,

c et d étant deux constantes inconnues qu’il s’agit de déterminer. Représentons par y et y, les ordonnées de la courbe et de la droite qui correspondent à une même abscisse, par S la différence y — y,; d’après la définition, S est une fonction de x qui a pour limite zéro quand x augmente indéfiniment. La branche de courbe infinie que nous considérons est donc représentée par l’équation

(1) y=yt + &=cx+d + S.

Quelquefois on peut mettre facilement l’équation de la branche de courbe sous la forme précédente et alors on a de suite l’asymptote. Considérons, par exemple, l’équation

/■(x)etF{x)représentantdeuxpolynômesentiersenx, le premier du degré m, le second au plus du degré m -f 1 ; les valeurs finies de x qui annulent le dénominateur donnent des branches infinies ayant leurs asymptotes parallèles à l’axe des y. Il y a, en outre, deux autres branches infinies que l’on obtient en donnant à x des valeurs très-grandes, positives ou négatives. Nous cherchons actuellement l’asymptote de ces deux branches. Si l’on effectue la division en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x, on obtient un quotient entier cx + d, qui est au plus du premier degré, et l’on a

y = cx + d-

<f(x) étant un polynôme entier d’un degré inférieur à m; cette dernière fraction tendant vers zéro, quand x augmente indéfiniment, on voit que la droite y,=zcx+d est asymptote aux deux branches que nous considérons.

Nous citeronsencore, comme exemple, la courbe transcendante

J ex

qui a une branche intime dans l’angle YOX asymptote à la droite ÿ=a".

En général, on n’obtient pas aussi facilement les asymptotes. Revenons à l’équation (1). On en déduit

Puisque d a une valeur finie et que 8 tend vers zéro quand x augmente indéfiniment, on a

(2) c~ limite de -•

Le coefficient angulaire de l’asymptote est égal à la limite

vers laquelle converge le rapport - » quand x définiment.

La même équation (I) donne

c = y — dx — 8,

d’où

augmente in

(3) délimite de (y — ex).

L’ordonnée à l’origine de l'asymptote est égale à la limite de la différence y— ex, quand x augmente indéfiniment .

Ces deux propriétés servent à déterminer les asymptotes d’une courbe.

380— Supposons d’abord l’équation résolue par rapport à y, et considérons une détermination de y qui donne une branche réelle infinie. Quand x augmente indéfiniment ,

on prend, pour cette branche, le rapport -. Si ce rapport

ne tend pas vers une limite finie, la branche n’a pas d’asymptote. Si le rapport tend vers une limite finie c, on considère