LIV. IV, CttAP. HL — ASYMPTOTES

l’angle p est nul, c’est-à-dire quand l’a- '/ // symptote est parallèle à l'axe des y. Dans

/ // ce cas, si l’on mène la droite MR (fig. 176)

/ 7/n~ parallèle à l’axe OX , la droite MR tend vers

/ / / zéro, quand le point M s’éloigne à l'infini,

o/"'" — /fi' "T c’est-à-dire quand l’ordonnée croit Indéfini* FiB. us. ment. Si l’on appelle a l’abscisse qui fixe la position de la droite CD, l’abscisse d’un point M de la branche MN tend vers a quand y augmente indéfiniment, ou, inversement y croît au delà de toute limite, lorsque x tend vers a .

Fig. 176.

ASYMPTOTES PARALLÈLES A L’AXE DES y.

310 — D’après ce qui précède, on obtiendra les asymptotes de cette espèce en cherchant les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Lorsque l’équation de la courbe est résolue par rapport à y, on obtient en général immédiatement ces valeurs à l’inspection de la valeur de y. Nous pouvons citer comme exemples la cissoïde et la strophoïde , construites aux n™ 28 et 31 . Quand l’équation de la courbe est algébrique, mais non résolue par rapport à y, on obtient les asymptotes de la manière suivante. Soit m le degré de l’équation, n le plus haut exposant de y, on peut écrire l’équation sous la forme

?(*)yB +x(*)yB-*+

<f, %, .... désignant des polynômes en x, de degrés au plus

égaux à m — n, m— n+1, m — n-f 2, ....,et, après avoir divisé

par yn,

Si, lorsque y augmente indéfiniment, x tend vers üne limite finie a, pour un couple de valeurs dans lequel y est très-grand et x voisin de a, tous les termes, à partir du second, étant très-petits; on en conclut que l’abscisse a doit annuler le premier terme. Ainsi les asymptotes parallèles à l’axê des y sont déterminées par les racines réelles de l’équation

Lorsque x tend vers a, l’une au moins des n valeurs de

données par l’équation (i), tend vers zéro, puisque le produit des racines est très-petit. Si a annule <p(x) sans annuler

une seule des valeurs de — tend vers zéro, et cette valeur est

nécessairement réelle ; car les racines imaginaires étant deux à deux conjuguées, quand l’une d’elles tend vers zéro, il

en est de même de la seconde. La valeur de - considérée

changera ou ne changera par de signe, quand x passera par a, suivant que a sera racine d’ordre impair ou d'ordre pair del’équalion (2); la droite indéfinie sera toujours asymptote à deux branches de courbe correspondant, l’une à des valeurs de x plus petites que a, l’autre à des valeurs plus grandes. Mais lorsque +(ac) devient nul en même temps que cp(x), ce raisonnement n’est plus applicable; il peut y avoir un nombre pair

de valeurs imaginaires de - qui tendent vers zéro, lorsque x

s’approche de a et la droite peut n’être asymptote d’aucune branche réelle ; ce cas demanderait une discussion plus approfondie.

317 — Exemple I. — Soit la courbe définie par l’équation

x*y4 + (x* — 4) (y — x)* = 0, qui, ordonnée, s’écrit

L’équation bicarrée

(2) <p (x)=xk -f-x1 — 4 = 0,

a deux racines réelles simples égales et de signes contraires x=±[// ^ K1~— — ± a.

Comme les valeurs de x n’annulent pas 4<(x), chacune des droitesx=±a est asymptote de deux branches situées, l’une du côté des y positifs, l’autre du côté des y négatifs, et de part et d’autre de la courbe.

318— Exemple IL — Soit la courbe