LIV. IV, CHAP. III.— ASYMPTOTES

est asymptote de la branche AD, et par suite de la .branche BE.

323— Exemple III.— Construire la courbe

>=±xyx^-

Les branches de la courbe sont disposées comme celles de la figure 177. Les branches qui correspondent aux valeurs de x très -grandes numériquement n’ont pas d’asymptote, parce

que la valeur numérique du rapport— croît au delà de toute

limite, en même temps que x.

324 — Exemple IV. — Considérons la courbe

y* — y3x-\- x 3 — '2xty= 0,

construite au n° 303. Nous avons exprimé les deux coordon-

nées x et y à l’aide de la variable auxiliaire t=- . On obtient

les deux branches OA et OB en faisant croîlre indéfiniment la valeur numérique de t-, elles n’ont pas d’asymptote. On obtient les deux branches infinies OB et OC, quand t tend vers

l’unité. Pour ces branches, on a lim -=i. Cherchons si la dif-

férence y — x a une limite. Les formules (2) et (3), par lesquelles on exprime a: et y au moyen de t donnent

y — x=(t— \)x = —jr~ ;

cette différence tend vers l’unité, quand l tend vers la même limite. Il en résulte que les deux branches considérées ont pour asymptote la droite

yz=x+l.

325— Exemple V.— Soit la chaînette construite au n° 310.

Qa A

D’après la remarque n°3l2, le rapport — croit indéfiniment

avec x ; la chaînette n'a pas d’asymptote.

320 — Considérons maintenant le casoù l’équation, supposée

algébrique et entière, n’est pas résolue par rapport à la variable y. Réunissons les termes du même degré ; représentons par y{x,y) l’ensemble des termes du degré le plus élevé tn, par ty{x,y) l’ensemble des termes du degré m — i, par x(Æjÿ) les termes du degré m — 2...., l’équation s’écrira

Désignons par u le rapport - » et dans l’équation (t) rem-

plaçons y par ux\ le polynôme f(x,y), homogène etdu degré m en a: et y, renfermera le facteur xm commun à tous ses termes, et l’on aura <p (a?,y)=a?m<p(l, u), ou, pour abréger, <f(x,y)=xm<f(u). De même, les polynômes ty(x,y),y.(x,y) deviendront xm l^(u), ar"~ax(u).... L’équation entre x et u sera donc

aüm(p(u) + xm~l |(u) + a;m“2x(u) + ....=0. et, si l’on divise par xm,

(2) ?(«)+-^'Hm) + 4îX(«)+-* = 0-

%Ju oc

Cette équation est par rapport à u du même degré que l’équation (t) par rapport à y; elle donne pour chaque valeur

de x les diverses valeurs du rapport — . Quand la valeur nu-

mérique de x augmente indéfiniment, si l’une des valeurs de u tend vers une limite finie c, pour un couple de valeurs, dans lequel x est très-grand et u voisin de c, tous les termes de l’équation (2), à partir du second, étant très-petits, on en conclut que le nombre c doit annuler le polynôme <p (u). Ainsi les coefficients angulaires des asymptotes sont racines réelles de l’équation

Soit c l’une des racines réelles de cette équation. Posons

d’où

y—cx=v,

Si dans l’équation (2) on remplace « par cette valeur, ou