LIV. IV, CHAP. III.— ASYMPTOTES

obtient l’équation qui donne les valeurs de v pour chaque valeurde#. Après avoir fait la substitution, développons chaque terme, l’équation devient •

Ÿ(e) + Ÿ,(e)j + Çr

Puisque l’on a 'f(c)=0, multiplions par x tous le ternies, cette équation prendra la forme

L?'(c)-H(c)] +Ai+B-i.... = 0.

Quand x augmente indéfiniment, si l’une des valeurs de v tend vers une limite finie d, comme un couple de valeurs dans lequel x est très-grand et v voisin de d rend tous les termes à partir du second très-petits, on en conclut que le nombre d doit satisfaire à l'équation

d’où l’on tire pour d une valeur unique

Lorsque la valeur de c annule ÿ'(c) sans annuler <j/(c), aucune des valeurs de r ne tend vers une limite finie, quand x augmente indéfiniment. Si une valeur de c annule en même temps f'(c) et |(c), l’équation (A), multipliée par æ*, prend la forme

?''(cU‘ + f(c)0+x(c)+ A+! + ...>==0;

Dans ce cas, en général, deux valeurs de v tendent vers des limites finies, lorsque x augmente indéfiniment; ces limites sont les racines de l’équation

32T— Revenons à l’équation (4), et supposons que c soit

une racine simple de l’équation tp(c) = 0. Le raisonnement du n° 316 prouve que lorsque v tend vers la quantité d, définie par la formule (5), sans annuler le polynôme (6), une valeur réelle de x et une seule augmente indéfiniment ; de plus cette r valeur change de signe quand v passe par la valeur d. Si OC' est la droite qui a pour équation y=cx, on aura v=y — cx=MQ, et en construisant la courbe à l’aide des coordonnées

x et v, on voit que la courbe a deux branches infinies, asymptotes à la droite que l’on obtient en portant sur OY une longueur OB égale à d, et en menant par le point B une ligne CD parallèle à C'D'. Les deux branches sont dirigées vers les deux extrémités de la droite, et elles sont situées de part et d’autre de la droite. Cette droite a pour équation

yt=cx + d.

Ainsi toute racine simple de l’équation (3) qui n'annule pas le polynôme (6), donne une asymptote et une seule.

La discussion relative aux racines multiples, ou aux racines simples qui annulent le polynôme (6), demande des développements plus étendus; on reconnaît qu’une droite qui correspond à une racine pareille n’est pas toujours une asymptote de la courbe.

328 — L’équation (3) est au plus du degré «par rapport à u, puisque le plus haut exposant de y dans l’équation (1) est n; à une racine simple de celte équation correspond une asymptote; à une racine double au plus deux, etc. ...; donc la courbe a au plus n asymptotes non parallèlos à l’axe des y. D’ailleurs, d’après ce qui a été vu au n° 316, la courbe a au plus m—n asymptotes parallèles à la même droite. Ainsi, une courbe de l’ordre m a au plus m asymptotes.

320 — Remarque. — Si l’on cherche les points de rencontre de l’asymptote