LIV. IV,CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES

la longueur constante de la droite mobile, b les coordonnées égales du point I, p et q les distances variables de l’origine aux extrémités de la droite mobile, x et y les coordonnées d’un point quelconque du lieu. Puisqu’un point du lieu est l’intersection de la droite mobile avec la perpendiculaire abaissée du point I, ce point est donné par les équations de ces deux droites

p(x-b)=q(y—b); on a d’ailleurs la relation

p*-f-qf, = 4a*.

Si entre ces trois équations on élimine les quantités variables p, q, on obtient l’équation du lieu

(i ) [x(x— b) +y(!/-b)}'[(x-b)'+ (y-b)')-ia'(x-b)'(y- b)*=0. La courbe est du sixième degré.

Quand on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point I, cette équation se simplifie et devient

(2) [x, + ÿ* + 6(x + y)],(Æ* + y,)-4a‘xV = 0.

La courbe ayant pour axe de symétrie la bissectrice de l’angle YOX, si l’on fait tourner les axes de 45°, l’équation (2) se réduit à

(3) (x*-f y’-fcx)’ (x'+yi)—a*(x'—yt)*=0; c désignant la distance 01.

Enfin si l’on prend pour axe polaire la droite IA prolongement de 01, celle-ci devient

( p — c cos w) 1 — a* cos* 2w=0,

d’où

(4) p = — c cos oj+ a cos 2a>.

On peut rejeter le signe — , et la courbe se construit facilement au moyen de cette équation.