AB OA A'B' ” O' A

Ainsi la droite qui joint deux points A et B du premier système et celle qui joint les deux points homologues A' et B' du second système sont parallèles, et dans le rapport constant k.

Soient A, B, C trois points en ligne droite, les droites A'B', A'C' respectivement parallèles à AB et à AC coïncident; donc quand trois points sont en ligne droite, leurs homologues sont aussi en ligne droite. Il en résulte que la figure homothétique d’une droite est une droite parallèle à la première. Si la première droite passe par le centre de similitude, les deux droites coïncident. Les droites homothétiques étant parallèles, on voit que l’angle de deux droites est égal à l’angle des droites homothétiques.

Les cordes qui joignent les points homologues de deux courbes homothétiques, étant parallèles, tendent, lorsque les deux points d’une même courbe se rapprochent indéfiniment, vers des directions parallèles; on en conclut que les tangentes à deux courbes homothétiques en des points homologues sont parallèles.

35$ — Si deux systèmes sont tels que les droites menées d’un point I aux différents points du premier système et celles menées d’un point \ aux différents points du second soient respectivement parallèles et dans un rapport constant k, ces deux systèmes sont homothétiques. En effet, prenons sur El un point O tel que

l’on ait jji = Ar, les deux rayons OA, OA' auront même direction et auront pour rapport k ; donc les deux systèmes sont homothétiques et le point O est le centre d’homothétie.

356 — Deux systèmes homothétiques à un troisième sont

homothétiques entre eux.

Avec le centre de similitude

Fifi. *03.

O et le rapport k construisons un premier système A'B'...I/ homothétique au système AB....I; avec le centre 0/ et le rapport k' construisons un second système A"B"....I".

Les droites I'A', I"A", respectivement parallèles à IA, sont parallèles entre elles. On a d’ailleurs

d’où

1 A , IA l'A' I"A"“

Ainsi les droites I'A', 1"A" sont parallèles et dans un rapport constant; donc, en vertu du théorème précédent, les deux systèmes A' et A" sont homothétiques.

Deux systèmes A' et A" homothétiques à un troisième A et construits avec le même rapport sont égaux entre eux ; car si k — k', les rayons parallèles l'A' et 1"A" sont égaux et les deux systèmes pçuyent être superposés. On conclut de là qu’au moyen d’un seul centre O, en faisant varier le rapport k de 0 à çp , on peut construire tous les systèmes homothétiques au système donné.

LlV. IV, CHAP. V.-DE LA SIMILITUDE.

Lorsque les deux systèmes A' et A sont tous deux homothétiques directs ou homothétiques inverses, par rapport au système A, ils sont homothétiques directs entre eux; mais si l’un est homothétique direct, l’autre homothétique inverse, ils sont entre eux homothétiques inverses.

Le s centres de similitude de trois systèmes homothétiques deux à deux sont en ligne droite. En effet, la droite G CK considérée coqqme appartenant au premier système a pour homologqesjdans le second et dans le troisième système, cette droite elle-même, puisqu’elle passe par les centres O et CK. Cette droite est donc à elle-même son homologue dans les deux derniers systèmes, et par conséquent passe par leur centre de similitude G".

35 7— -Lorsque deux figures d centre sont homothétiques directes, elles sont aussi homothétiques inverses, et réciproquement.

Soient C et C' les centres des figures, A et X' deux points homologues ; je prends sur le prolongement de C'A' un point A', tel que C'A', =GA', le point A', appartient aussi à la seconde

figure ; or ^,=A- > donc = k ; puisque les rayons ho-

u A liAj *

mologues CA et C'A', sont dirigés en sens contraire, les deux courbes sont homothétiques inverses.

Il en résulte que les deux ligures ont deux centres de similitude, l'un direct ou externe 0 placé sur le prolongement de la ligne des centres, l’autre inverse ou interne CK placé dans l’intervalle CG'.

Lorsque trois figures à centre sont homothétiques deux à deux, elles ont trois centres de similitude externes et trois in-

Digilized by GoogI

ternes. Les trois centres de similitude externes sont en ligne droite; de même deux centres de similitude internes et le centre externe qui correspond au troisième interne sont aussi en ligne droite.

358— Les côtés homologues de deux polygones homothétiques ayant constamment pour rapport le nombre k, leurs périmètres sont dans le même rapport; ainsi le rapport des périmètres de deux polygones homothétiques est égal au rapport dé similitude .

Si l'on abaisse de deux sommets homologues de deux triangles homothétiques des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront des droites homologues dans les deux systèmes, leur rapport sera égal à k, et par suite le rapport des aires des triangles sera égal à k*.

En décomposant deux polygones homothétiques en triangles homothétiques deux à deux, on voit que le rapport des aires des figures est encore égal à A'; ainsi le rapport des aires de deux polygones homothétiques est égal au carré du rapport de similitude.

Les deux théorèmes précédents s’étendent à des figures planes, terminées par des contours homothétiques quelconques.