ÉQUATION GÉNÉRALE D’UNE ESPÈCE DE COURBES

364— On appelle courbes de même espèce les courbes comprises dans une même définition géométrique, et qui ne diffèrent les unes des autres que par les valeurs attribuées aux paramètres qui entrent dans la définition générale. L’équation générale des courbes de l’espèce considérée est une équalionqui, dans un système de coordonnées, donne toutes ces courbes,

32H GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE.

quelle que soit leur posittion dans le plan» quand on allribue diverses valeurs aux paramètres variables qu’elle renferme. Ainsi, lorsque les axes fixes sont rectangulaires, l’équation générale de l’espèce cercle est

Celte équation renferme trois paramètres variables, savoir : le rayon r et les deux coordonnées du centre a et p.

365 —Souvent oh cherche d’àborü l’équation de la coulrbe par rapport à des axes particuliers que l’on choisit de manière à simplifier le calcul; alors, pour obtenir l’équation générale, on la rapporte à des axes fixes par une trahsformation de coordonnées.

On a défini la lemniseate le lieu des poihts tels que le produit dés distances de chacun deux à deux points F et F' soit égal ah carré de la moitié de la droite F'F. Si l’on prend pour origine le milieu 0/ de là droit F'F, pour axes des coordonnées O'F et uhe perpendiculaire à O'F, et si l’on désigne par 2c la distance F'F, la courbe, rapportée à ces axes particuliers variàblëé, est représentée par l'équation (n° 300)

On rapporte ensuite la -, courbe aux axes fixes rectangulaires OX, OY, au moyen des formules de transformation

^cosa-fiy— b)sin*, t/=—(x—a)$inai+U/—b)cosa, dans lesquelles a et b désignent tes coordonnées du point O' par rapport aux axes fixes et a l’angle de la droite O'F avec OX. On arrivera ainsi à une équation F (x, y, c, a, b, a) = Ü

renfermant quatre jwramètres arbitraires, et qui représente toutes les lemniscates; c’est l’équation générale de l’espèce.

Fig. 207.

366— L'équation générale d’une espèce de courbes, par rapport à des axes fixes, contient trois paramètres de plus que