LIV. IV, CHAP. V. — DE LA SIMILITUDE

Les coefficients M et N, dont les valeurs sont données par les relations

M— N= /B‘ + (A— Cj*,

ont le même signe ; pour que les équations (5) et (6) représentent deux ellipses, il faut que les quantités F,, F/ soient également de même signe et que, de plus, ce signe soit contraire au précédent. Lorsque cette condition est remplie , les

axes des deux ellipses ayant le même rapport les

ellipses sont homothétiques.

3» B' — 4 A C > 0. Les deux lieux sont du genre hyperbole. En faisant les mêmes transformations que dans le cas précédent, on arrive aux équations (5) et (6) dans lesquelles M et N ont des signes contraires. Lorsque F, et F', sont différents de zéro, chacune des équations représente uue hyperbole. Si F, et F', ont le même signe, les axes réels des deux courbes sont parallèles, et comme le rapport des axes est le même, les courbes sont homothétiques. Lorsque F, et F', ont des signes contraires, l’une des hyperboles est semblable à la conjuguée de l’autre. Dans tous les cas, les deux courbes ont leurs asymptotes parallèles.

On conclut de ce qui précède que, lorsque deux équations du second degré ont les coefficients des termes du second degré proportionnels, et représentent deux courbes, ces courbes sont homothétiques ; cependant, quand les courbes sont des hyperboles, il peut arriver que l’une soit homothétique à la conjuguée de l’autre.