LIV.IV, GHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
segment et un cône nuis ; si on en fait abstraction, l’équation se réduit au second degré
(2) x‘-f rx— r*= 0.
Cette équation est celle que l’on obtient quand on veut partager le rayon, en moyenne et extrême raison, de façon que le plus grand segment parte du centre. Elle a une racine positive plus petite que r et une racine négative numériquement plus grande que r-, à la première correspond une solution de la question ; quant à la seconde, elle donne un plan sécant qui ne rencontre pas la sphère; donc, en se bornant à ce corps, il n’y a pas lieu de chercher une généralisation de l'énoncé primitif.
Exemple II. — Couper une sphère de rayon r par un plan, de manière que le volume du segment obtenu soit égal à celui d’une sphère de rayon a.
Supposons le plan sécant perpendiculaire au diamètre AA'; appelons x la distance OM du centre à ce plan, prise avec le signe + ou le signe — , suivant quelle est portée sur OA ou sur OA'. En évaluant le volume du segment, on a, dans tous les cas, l’équation
- tto5 = - itr* (r— x) — ^ a: (r*-»*),
ou
(1) xs — 3r*x-|-2(rs — 2a’)=0,
à laquelle il faut joindre les inégalités — r <x< r.
L’équation a une racine positive plus grande que r qui ne convient pas à la question. Comme a est plus petit que r, elle a une racine négative numériquement plus grande que r, qui ne convient pas non plus à la question. La troisième racine comprise entre — r et-j-r, donne la solution de la question. ,
Pour avoir un énoncé tel qu’à toute racine réelle de l’équation corresponde une solution, il faudrait employer, concurremment avec la sphère, un autre corps, l’hyperboloïde de révolution à deux nappes.
Exemple III. — Trouver une circonférence telle qu’en portant, à partir de l'un de ses points , trois cordes données à la suite l’une de l’autre, mais dans un sens quelconque, on arrive au point diamétralement opposé.
Appelions x le rayon cherché, 2a, 26, 2c les trois cordes rangées par ordre de grandeur, a>6>c; 2a, 2fi, 2y les angles au centre correspondants, angles positifs ou négatifs, suivant que les eordes sont portées dans un sens ou dans l’autre, on a
(1) a — hxsina, b — ±xsin$. c=±x siny,
L’équation (2) donne
«n’a-t- «!»»*§ +sin*r, + 2sûi asinpsiny — i = 0;
d’où
Cette dernière se décompose en deux équations qui ont leurs racines égales en valeur absolue et de signes contraires; il suffit de considérer l’une d’elles
(4) x a — (a^è’-fc*) x — 2a6c=0.
L’équation (4) a:t”une racine positive comprise entre
a et a-f-6+c; 2» une racine négative comprise entre— a et — (a+6-l-c);30uneracine négative comprise entre 0 et — c. Cette dernière doit être rejetée; les valeurs absolues des deux premières racines donnent deux cercles satisfaisant à la question. Dans le cercle qui correspond à la première, les trois cordes
