LIV. IV, CHAP. VI. — DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

y r rx

0Uy = ^=Â’

V =— ity* x

d’où, par l’élimination de y,

Celte équation ne peut pas avoir de racines négatives ; elle a toujours une racine positive comprise entre 0 et h, qui ne convient pas à la question proposée; ainsi lorsque la question proposée a une solution les trois racines de l’équation (2) sont réelles. La condition de réalité des trois racines est

■k rlh.

Lorsque le volume donné est plus grand que le volume

— Ttr * h , l’équation admet une racine comprise entre h et 3 h,

une autre plus grande que 3A; ces deux racines donnent deux solutions de la question. Lorsque le volume donné est égal

à ^ ir r*h, les deux racines deviennent égales à 3 h et les deux

cônes se confondent. Le cône circonscrit minimum a pour

volume —Ttr’ h.

Soit x' la racine comprise entre 0 et h, — y' la valeur négative de y correspondante, les équations deviennent

rx'

X = -hy'*x';

or, si l’on prend 0M/=x/ et que l’on mène la droite RM, on

trouve ^=0^, par suite -ny^x1 est le volume engendré par

la rotation du triangle rectangle M/0P/ autour de 00'. Ainsi l’équation (2), par ses trois racines, résout la question suivante: Étant donnés un cercle BB', un plan AA', parallèle au plan du cercle, et la ligne droite OJI perpendiculaire aux deux plans et passant par le centre du cercle, trouver sur cette ligne droite br. 22

un point tel qu'en le prenant pour sommet dun cône dont la directrice serait la circonférence, le volume compris entre le sommet et le plan AA' soit égal à un volume donné.

3 T 5 — En général les conditions d’un problème sont traduites algébriquement par un certain nombre d’équations et d’inégalités simultanées ; tout système de valeurs réelles qui satisfont à la fois aux équationset aux inégalités donne une solution de la question. Dans les exemples qui précèdent, on a vu que l’on pouvait transformer l’énoncé de manière à lui donner toute l’étendue des équations, de manière, par conséquent, à supprimer les inégalités. Les équations sont de la sorte la traduction Adèle du nouvel énoncé, et tout système de valeurs réelles qui satisfont à ces équations donne une solution de la question ainsi transformée. Mais cette généralisation n’est pas toujours facile, et pour l’opérer, il faudrait souvent faire subir à l’énoncé des modiAcations très-considérables qui changeraient en quelque sorte la nature de la question.

Exemple I. — Couper une sphère par un plan, de manière que le volume du segment soit égal au volume du cône qui aurait pour base la base du segment et pour sommet le centre de la sphère.

Soit x la distance du centre au plan sécant: le volume du

cône sera— ■RX[rt — a:’), celui du seg-

ment, qui doit être la moitié du secteur,

— * r*(r — x); d’où l’équation

x(r*-‘X*)=ri(r— x), ou

Fig. îiï. La longueur x doit être comprise entre 0 et r, c’est-à-dire qu’à l’équation précédente il faut joindre les inégalités

L’équation (t) a d’abord une racine égale à r; elle donne un