LIV. IV, CHAP. VI. — DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS
dans laquelle A, B, C désignent des monômes du degré m-fl, A', B', C' des monômes du degré m. On ramène d’abord chacun de ces monômes aux formes simples
\ma, lmb, Xmc, Xm-'a', Xm'c
et l’on a
L’inconnue a; s’obtient par une quatrième proportionnelle à P> a, X.
Si la fraction était du degré m, les opérations qui précèdent la ramèneraient à la forme
Xm-I Al Xm-l i
380 — Formule irrationnelle du second degré. — Soit d’abord l’équation
X— J ab ou — .
L’inconnue x est une moyenne proportionnelle entre les lignes a et b; on l’obtient par un triangle rectangle ou par une tangente au cercle.
Lorsque le radical porte sur une fonction rationnelle du degré m, on le ramène à la forme
/lFiT= /x'»-n(=xv x.
Considérons maintenant une formule irrationnelle du second degré dans laquelle nous supposons que les quantités réunies par le signe + ou le signe — sont homogènes et du même degré. Pour plus de clarté nous imaginerons la valeur de x ramenée à la forme
N et D désignant des fonctions dans lesquelles n’entre pas le signe de la division ni d’exposant fractionnaire on négatif; on peut supposer aussi qu’il n’y a pas de produit de deux radicaux ni de produit d’un radical par une quantité entière. Pour
obtenir la valeur du numérateur N, il faut effectuer certaines opérations dans un ordre déterminé; le premier signe radical porte sur une expression entière, on le ramènera à la forme
X* « ; si cette quantité doit être ajoutée à d’autres, on ramènera celles-ci à la même forme et par suite aussi leur somme. Un nouveau signe radical peut porter maintenant, soit sur une
quantité entière, soit sur une quantité affectée de l’exposant^, m étant impair. Dans tous les cas, on ramènera le radical à
la forme X * v ; on ajoutera ce terme à d’autres de même forme,
et ainsi de suite. On voit ainsi que le numérateur N prendra la
fi
forme X t. lien sera de même du dénominateur D; l’inconnue x étant du premier degré, on l’obtiendra par une quatrième proportionnelle.
On démontre que les hypothèses que nous avons faites sur la composition de la formule sont nécessaires pour qu’elle soit homogène.
Ainsi, toute expression homogène du premier degré, composée d’une manière quelconque, au moyen des signes d’opérations simples, addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance entière, racine carrée; en un mot, toute expression irrationnelle du deuxième degré peut être construite au moyen d’un nombre limité de lignes droites et de cercles.
On démontre aussi que les expressions de cette nature sont seules susceptibles d’être construites de la façon indiquée; mais cette démonstration ne peut trouver place ici. Ainsi, par exemple, le côté x du cube double d’un autre dont le côté est a, côté donné par la formule
ne peut pas s’obtenir par la règle et le compas; il en est de même, en général, des racines des équations du troisième et du quatrième degré, puisqu’il entre des radicaux cubiques dans l’expression de ces racines.
