LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

381— Remarques. — Les seules opérations élémentaires absolument indispensables pour la construction d’une formule irrationnelle du second degré sont celles qui déterminent les quatrièmes proportionnelles et les moyennes proportionnelles. Dans certains cas, on peut arriver plus rapidement au résultat. Ainsi les formules

aj=/a’ + 6s, ierr/a* — 6», se construisent directement au moyeu du théorème du carré de l’hypoténuse; la première représente l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont a et b; la seconde un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’autre côté est b et l’hypoténuse a.

On obtiendrait de la même manière, par une suite de triangles rectangles, la valeur de l’expression

Soit encore la formule

X a3+a*b— ab' — b 3

L’application du procédé général serait fort longue, mais si l’on observe que la valeur de x peut se mettre sous la forme

X~ (a+bf (a— b) '

on arrivera très-promptement au résultat.

382 — Lorsqu’on veut obtenir les inconnues d’un problème, il importe de combiner de la manière la plus simple les opérations graphiques élémentaires propres à conduire au résultat.

Exemple l.— Partager une droite en moyenne et extrême raison (n° 374).

Il faut construire les racines x! et — x!' de l’équation aj’ + ax — o‘ = 0,

d’où

Au point B élevons la perpendiculaire BC=-; il en résulte

AC=j/ a* + ^\ x = AC — RC, x"=AC + BC.

Si du point C comme centre, avec CB pour rayon, on décrit

unedemi-circonfé-

renee DBD', on a

X 'X x’=AD, x"=Aiy ;

/ \ si l’on prend