REPRÉSENTATION DES SURFACES PAR DES ÉQUATIONS

396— Considérons une surface quelconque dans l’espace.

Par un point O, menons trois axes fixes OX, OY, OZ ; dans le plan XOY prenons un point P arbitraire, et par ce point menons une parallèle PM à l’axe OZ jusqu’à sa rencontre avec la surface au point M ; la longueur de l'ordonnée PM est parfaitement déterminée. Quand le point P se déplace dans le

plan XOY, l’ordonnée PM varie simultanément. Mais puisque le point P se déplace d’une manière arbitraire dans le plan, ses coordonées x et y sont deux variables indépendantes; il en résulte que l’ordonnée z d’un point H de la surface est une fonction des deux autres coordonnées a: et y considérées comme deux variables indépendantes. On conçoit que l’on puisse, de la définition géométrique de la surface, déduire une équation entre x, y, z, servant à définir la fonction z de ar et de y. Cette équation s’appelle l’équation de la surface.

397— Supposons réciproquement que l’on donne une équation

entre les trois coordonnées; chaque système de valeurs réelles qui satisfont à cette équation détermine un point de l’espace;

l’ensemble de toutes les solutions réelles constitue un système de points qui forme, en général, une surface.

En effet, considérons d’abord le cas où l’équation, ne renfermantqu’une seule des coordonnées, z par exemple, est de la forme z=c. Puisque les coordonnées x et y sont arbi-

Fig, 223.

traires, par un point P quelconque du plan XOY on mènera une ordonnée constante PM; le lieu des points M est évidemment un plau parallèle au plan XOY. Supposons maintenant que l’équation renferme deux coordonnées, x et y par exemple.

L’équation f(x, y)= 0, dans le plan XOY , représente une ligne AB.

Par un point quelconque de cette ligne, menons une parallèle PM à l’axe OZ; puisque l’ordonnée z,qui n’entre pas dans l’équation, est arbitraire, les coordonnées de tous les points de la droite PM satisfis ut. font à l’équation. Donc l’équation

f(x,y)= 0 représente dans l’espace un cylindre parallèle à l’axe OZ.

Considérons enfin un équation f[x, y, z)=0 entre les trois coordonnées. A une distance arbitraire 0C=c, menons un plan

ACB parallèle au plan XOY ; les 1 coordonnées a; et y de tous les

points du lieu situés dans ce plan

~y — ~ doivent satisfaire à l’équation

'7/1 — f[x, y, C)=0; or, cette équation — ""^1/ représente dans le plan ACB

' une ligne AB. Si l’on donne à z

/o i une valeur d voisine de c, on

aura dans le plan A'C/B/ une Y seconde courbe A'B' qui diffé-

Fig. îî5. rera très- peu dé la précédente.

En général, quand s varie d’une manière continue entre certaines limites, on a une série continue de courbes, lesquelles forment une surface.

Par cette méthode, non-seulement on démontre l’existence de la surface, mais encore on se fait une idée assez exacte de sa forme, à l’aide d’une série de coupes parallèles que l’on représente par leurs projections sur l’un des plans des coordonnées. .

LJV. V, CHAP. I.— COORDONNÉES. 3C9 '