REPRÉSENTATION DES LIGNES

308 — Une ligne dans l’espace peul être regardée comme l’intersection de deux surfaces; on représentera donc cette ligne par un système de deux équations simultanées Ci) f(x, y> *)=0, ft (x, y , z)= 0.

Le système (t) peut être remplacé par une infinité d’autres équivalents, par exemple par le suivant,

f= 0, f+lft= 0,

dans lequel X désigne une constante quelconque, c’est-à-dire que la surface /‘+X/,l=0, passe, quelle que soit X, par la ligne d’intersection des deux premières.

Si, entre les deux équations (I), on élimine successivement x et y, on aura deux équations

qui représentent les deux cylindres projetants de la ligne sur le plan des xz, et sur celui des yz. Ces deux cylindres, par leur intersection, déterminent la ligne.

La représentation des figures dans l’espace par des symboles algébriques permet d’étendre aux figures à trois dimensions les méthodes analytiques employées dans l’étude des figures planes.

DIRECTION D’üNE DROITE.

399— Pour déterminer dans l’espace une direction 01, que

l’on peut supposer appartenir à une droite passant à l’origine, on donne les angles o, p, y de cette direction avec les trois directions OX, OY, OZ des coordonnées positives. Deux de ces angles ne suffisent pas ; car si l’on décrit autour de OX et de OY deux demi -cônes dont les angles au sommet soient respectivement a et p,ces deux cônes se coupent suivant deux

génératrices placées symétriquement par rapport au plan XOY; la connaissance dey est donc indispensable. Il est évident d’ailleurs que ces trois angles ne sont pas tous arbitraires, et que, lorsque deux d’entre eux sont connus, le troisième ne peut avoir au plus que deux valeurs distinctes. Au lieu des angles, on peut prendre leurs cosinus, puisque de 0 à il n’y a qu'un seul angle ayant un cosinus donné. Les sinus, au contraire, laisseraient de l’ambiguïté.

400 — Considérons d’abord le cas où les coordonnées sont rectangulaires. Désignons par x, y, z les coordonnées d’un point quelconque M de la droite 01, et appelons l la distance OM. Les coordonnées du point M sont les arêtes OD, OE, OF du parallélipipède rectangle dont OM est la diagonale, affectées de signes convenables; ce sont aussi les projections orthogonales de la diagonale OM sur les axes ; on a donc

x—lcosa, y=lcos$, z=zlcosy.

Mais on sait que le carré de la diagonale d’un parallélipipède rectangle est égal à la somme des carrés des trois arêtes, ce qui donne

remplaçant x, y , z par leurs valeurs, et supprimant le facteur P, on obtient la relation

(1 ) COS *a -f- COS1 JÜ + COS*y = t ,

qui existe entre les cosinus des angles formés par une même direction avec les axes rectangulaires.

401 — Appelons fT, ■/ les angles que fait une seconde direction OF avec les mêmes axes, et cherchons l’angle V des deux directions 01, OF. Les projections de la droite OM et de la ligne brisée ODCM sur la droite OF étant égales, on a

Icos N^ZXCOSOI1 -\- yCOS jS' + Z COSy*, ou, en remplaçant x, y , z par leurs valeurs,

(2) COSV = COS a COS a' + COS P COS P’ -j- COS Y COS Y'

Les directions 01, OF sont perpendiculaires entre elles, si la condition

!9) cosX:

Liv; V, CHAP. I.— COORDONNÉES. 371

(3) COS a COS a' -f COS p COS -f- COS yCOS y1 = O

est vérifiée.

402 — Supposons maintenant les coordonnées obliques, et désignons pour X, n, v les trois angles YOZ, ZOX, XOY, que font les axes deux à deux. En projetant orthogonalement sur chacun des trois axes la droite OM et la ligne brisée ODCM, on a

Ilcos a— X + yCOSv + ZCOSp, lcosp=xcosv+y -J- z cos X , lcosy=xcos (A+ÿcosX +z ; en projetant ces mêmes lignes sur la droite 01, on a (5) l=xcosi + ycosp + zcosy.

Si des équations (4), on tire les valeurs de x, y, z,

C0$a(1 — CO^XJ-j-COSpfcOSXcOSjJi — COSv)-j-COSf(COSXcOSv — COSj*) J

1 — COS*X — CO«V— COSsv + 2COSXcOS[ACOSv

et qu’on les substitue dans l’équation (S), on obtient la relation

(7) cos^sm’X+cos’pst'nV+cos^smN-f^cosacosfHcosXcosp. — cosv)

+ 2cOSpcO«Y(cOSpCOS v — COSX) -j-2C0SYC0Sa(C0SvC0SX — COSa)

=t — cos’X — COS V — cos’v -f-2cosXcosu.cosv, entre les trois angles formés par une direction quelconque avec les axes obliques.

Si dans, l’équation (5) on remplace cos a, cos p, cos y par leurs valeurs tirées des équations (4), on a la formule

(8) l'z^x'-J- y'-j- z’+Zy zcos \+2zx cos p-j-2 xy cos v, qui donne la distance OM.

En projetant .sur la droite OF la droite OM et la ligne brisée ODCM, on a, comme précédemment,

lco$\=x cos a-'+y cos p' +zcos y' ; en remplaçant x, y, z par leurs valeurs (6), on obtient la formule

co»xcotz’tiri,\-\-cotr.c.oitpltin*iJ.-\-cos/co»yl tint/-\-{cosxCO*ji'-\-co»ilcofz') (ros'tcotfi- 1 — cos1 y — cos'/i — cosi/-\-icosj.cosjj.cos-/

qui donne l’angle des deux directions.

Le dénominateur commun ou le déterminant des formules(6)

peut être mis sous une forme remarquable qu’il est bon de connaître ; on a

t — COS ' X — cos' fx — COS1 v -f-2 COSX COS |x COS v = ( t — COS ' X) ( 1 — COS * fx) — cos' X COS * IX — COS ' v-j-2 COS X COS [X COS V =sin'y.$in'ii — (cos X cos |x — cos v) *

= (st'nXsmix — cosXcos |x-f cosv) (smX sinjx-f cos X cosix — cos v)

= [cos v — COS (X-j-fx)] (cos (X — (x)— cos vl

. X-f-IX-f-V . u-f-V X . V+X IX . X4-IX V

=4sm ■ ^ sin — „ — sm sin-~