L1V. V, CHAP. II.— TRANSF. DES COORDONNÉES

gébriques et transcendantes, suivant que leurs équations sont elles-mêmes algébriques ou transcendantes. Quand l’équation est algébrique, elle peut toujours se ramener à la forme entière, et une transformation d’axes rectilignes ne change pas son degré. Le nombre qui exprime ce degré sert à classer les surfaces en ordres; ainsi, on dit qu’une surface est du premier, du second, du troisième ordre, etc., lorsque son équation est du premier, du second, du troisième degré, etc.

Pour que l’équation algébrique entière du degré m f(x, y, z)= 0,

représente réellement une surface de l’ordre wt, il faut que son premier membre ne puisse pas se décomposer en un produit de deux fonctions entières, ou qu’elle soit irréductible. Deux équations irréductibles distinctes représentent deux surfaces qui peuvent avoir une ou plusieurs lignes communes, mais ces surfaces n’ont jamais d’éléments superficiels communs; car pour avoir des systèmes communs de solutions des deux équations, on ne peut pas prendre arbitrairement, même entre des limites très-resserrées, deux des variables.

Un plan coupe une surface algébrique de l’ordre m suivant une ligne algébrique dont l’ordre ne peut dépasser m; en effet, si l’on rapporte cette surface à un système de trois plans coordonnés, dont fasse partie celui que l’on considère, on obtient l’équation de la ligne d’intersection, par rapport à deux des axes coordonnés, en remplaçant dans l’équation de la surface l’une des coordonnées par zéro; le polynôme à deux variables qui en résulte ne peut évidemment être d’un degré supérieur à m. Si la surface avait dans un plan plus de points qu’il n’en faut pour déterminer une ligne de l’ordre m, le plan tout entier ferait partie de la surface, et l’équation se décomposerait en deux facteurs. Une ligne droite rencontre une surface de l’ordre m en m points au plus, ou bien elle est située tout entière sur la surface.