ÉQUATION DU PLAN

445 — Réciproquement, tout plan est représenté par une équation du premier degré entre les variables x, y, z. Car lorsque le plan est parallèle à l’un des plans coordonnés, XOY par exemple, si l’on appelle c la coordonnée z du point où il rencontre l'axe OZ, son équation est z—c. En second lieu, si le plan est seulement parallèle à l’un des axes , OZ par exemple, sa trace sur le plan XOY a une équation de la forme Aa;+Bÿ-f-D=0; celle-ci représente, dans l’espace, le plan donné.

Enfin, supposons que le plan ne soit parallèle à aucun des axes; soient

z=ax + Y, z — by +?

les équations de ses traces PR et QR sur les plans XOZ et YOZ. On peut disposer des coefficients de l’équation (1) \x -{- By -(- Cs -j— D zzz 0,

de manière que le plan qu’elle représente coïncide avec le plan proposé. En effet, les traces du plan représenté par l’équation (1) sur les plans XOZ et YOZ ont pour équations Aar+Cz-f D=0, By+C~ + D=0,

ou

elles coïncideront avec les traces PR, QR du plan proposé, si

l’on a

ou

A= — Ca, B=— C6, D=-Cr.

L’équation (t), dans laquelle on substitue les valeurs précédentes, devient, après la suppression du facteur C,

s — ax — by —

CONDITIONS i*OCR UCE DEUX PLANS SOIENT PARALLÈLES.

416 — Soient

A.r -}- By -f- L z -}- D — 0,

les équations de deux plans. Pour que ces plans soient parallèles, il est nécessaire et il suffit que leurs traces sur deux des plans coordonnés soient respectivement parallèles. Les traces sur le plan XOZ ont pour équations

Ax -f- Ce -J- D — 0 ,

A'x + QJz -)- D7= 0 ;

ces deux droites seront parallèles, si elles ont le même coeffi-

G Cl

cient angulaire, ce qui donne lacoudition — -= — ou

-- — — . De même les traces sur le plan YÜZ ont pour équa-