ÉQUATION GÉNÉRALE DES PLANS QUI PASSENT PAR UN POINT DONNÉ

417— L’équation générale du premier degré renfermant trois paramètres arbitraires, savoir les rapports de trois des coefficients au quatrième, il faut trois conditions pour déterminer un plan.

Cherchons d’abord l’équation générale des plans qui passent par un point donné M; ayant pour coordonnées x! , y', z'. Soit (1) Ax+ By + Cü + D— 0

l’équation d’un plan quelconque. Pour que ce plan passe par le point M', il faut que les coordonnées de ce point vérifient l’équation du plan, ce qui donne l’équation de condition (3) Aod + B?/ + Czf + D=0,

qui déterminera l’un des coefficients, par exemple le coefficient D. Nous éliminerons ce coefficient en retranchant les deux équations (1) et (3) membre à membre; l’équation (4) A(x— a/) + B(ÿ— y') + C(z— z')=0, qui renferme deux paramètres arbitraires, les rapports de deux des trois coefficients A, B, C au troisième, est l’équation générale des plans passant par le point ML Si l’on voulait mener par un point un plan parallèle à un plan donné, l’équation du plan demandé étant de la forme (4), il suffirait de prendre les coefficients A, B, C proportionnels et plus simplement égaux aux coefficients de x, y, z dans l'équation du plan donné.