L1V. V, CHAP. 1H.— DE LA LIGNE DROITE

çant les différences x—x1, y— y1, z—zf par leurs valeurs dans la formule

/= i/(x—x') i+{y-y'),+(z—zV,

ce qui donne

I A&'+Bÿ' + Cz'-f D

On retrouve ainsi la formule à laquelle nous avons déjà été conduits par une autre méthode (n» 422).

PAR «JN POINT llONNÉ MENER UN PLAN PERPENDICULAIRE A UNE DROITE DONNÉE.

438 — Soient a*, y', z ' les coordonnées du point donné M,

x=as+p, y—bz+ q

les équations de la droite. Le plan cherché, passant par le point M, a une équation de la forme

\(x— a/) +B(iy — y1) +C(z — z0=O.

Ce plan sera perpendiculaire à la droite, si les relations

A__ B __ JC a b 1

sont vérifiées. En remplaçant les rapports — et — parleurs

valeurs a et b, l’équation du plan cherché devient (19) a(.r-.r,) + 6(y— y') + (* — s')=0.

On obtient encore immédiatement cette équation , en remarquant que les quantités a, b, 1 sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait la droite donnée avec les axes, tandis que les quantités x — x', y — y', z — z' sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec ces mêmes axes la droite qui va du point M à un point quelconque du plan ; ces deux directions étant rectangulaires, la somme des produits de ces quantités deux à deux doit être égale à zéro.

439— On aura le point P où le plan coupe la droite, en joignant l’équation du plan aux deux équations de la droite ; celles-ci étant mises sous la forme

iOO

x — x'—a (z — z') — (x 1 — az! — p) ,

V — y' — b (z—zl) — (t/ — bz' — q), on en déduit, en remplaçant x — xt et y — y1 dans l’équation du plan,

a (x1 —az1 —p)+b ( y’—bz’—q )

A l’aide de ces formules , on calculerait aisément la distance MP du point à la droite donnée. Mais nous l’obtiendrions plus rapidement par une autre méthode.

PAH UN POINT DONNÉ MENER UNE DROITE PERPENDICULAIRE A UNE DROITE DONNÉE.

440— Soient x1, if, z' les coordonnées du point donné,

x=az -f-p, y=bz + q

les équations de la droite donnée. La droite cherchée est l'intersection de deux plans, l’un mené par le point et la droite donnés, l’autre mené par le point donné perpendiculairement à la droite donnée. Le premier a pour équation (n° 429'

x — az — p y — bz — q

x/ —az' — p y' — bz! —q ’

le second (n° 438)

a(x—x?)+b{y — yl) + [z—z') = 0; les deux équations simultanées représentent la droite cherchée.

DISTANCE d’un POINT A UNE DROITE DONNÉE.

441— Appelons toujours x\ \J , zf les coordonnées du point donné M. Supposons d’abord que la droite donnée OL passe par l’origine , et désignons par a, p, y les angles qu’elle fait avec les axes des coordonnées rectangulaires. La perpendiculaire MP, abaissée du point M sur la droite OL, étant un côté d’un triangle rectangle OMP (fig. '■237), on a

f*=MP,=ÔM* — OP*.

La distance OM est connue; elle est donnée par la formule Quant à la distance OP, c’est la projection de la droite OM sur