LIV. V, CHAP. III.— DE LA LIGNE DROITE. iOI

la droite OL; en écrivant que la projection de la droite OM est égale à celle de la ligne brisée OABM, dont les côtés sont les coordonnées x', y1, z' - du point M, on a

OP=.t/ COS a -f- 1 / COS P + z' COS f.

Fi t37 II vient de la sorte

(20) l*=X,, + y'*-\-Z/t — (x1 COS a -f 1/ COS P + Z1 COS y)*.

O11 peut mettre cette formule sous une autre forme. Si l’on multiplie la quantité x '* -f y'J -J-z'1 par cos ’a-f cos ’p-fcos’y, c’est-à-dire par l’unité, on a

P=(.r,,+ÿ'*+z'*)(cos,a+cos,p+«)S,Y) — (x'cos'A+i/cos^-\-z'coS'ty, en effectuant les calculs et groupant convenablement les termes, il vient

(21) r=(i/'cosy — z'cos p)’-f (z'cosn — x’cosy),+(x'cos P — iJCOS <*)*.

Supposons maintenant que la droite donnée ne passe pas par l’origine, et soient

x=az + p, y=bz-\-q

les équations de cette droite. Imaginons que l’on transporte les axes, parallèlement à eux-mêmes, en un point de la droite, par exemple au point (p, q, 0) où elle perce le plan XOY ; les coordonnées du point M relativement à ces nouveaux axes étant x'—p, y — q, z! , on aura, en appliquant la formule (21), /*=[(»'— q)cos-/— , p)cot/— s'co*oc]*4-[(*'— p)cos, 8— [y'—q)coix]\ si l’on remplace enfin cos a, cos p , cos y par leurs valeurs, on obtient la formule

. {x'—a z'—pY+ (y'—bz'—q )* + (x'—p)— a (y'—q) )« a'+b'+l

PLl'S COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES.

442 — Soient

x=az-\-p, y=bz-\-q les équations de la première droite AB,

x = a'z+p’ , y=zb'z-\-q'

celles de la seconde droite CD (fig. 238). On sait que la perpcn-

diculaire commune MN à ces deux droites mesure leur plus courte distance. Ou sait aussi que la longueur l de cette perpendiculaire commune MN est égale à la distance d’un point quelconque de la droite CD au plan P mené par la droite AB parallèlement à CD. Cherchons d’abord l’équation du plan P; tout plan mené par la droite AB a une équation de la forme

(x—as—p) + \(y—bz—q) = 0; ce plan sera parallèle à CD, si la condition (n° 426)

{a'+W)- {a+lb)=0 est remplie; on en déduit

et par suite le plan P a pour équation

(23) (b — b') (x — az — p)—(a—a') (y — b: — q) =0.

La distance à ce plan d’un point quelconque de la droite CD, par exemple du point (p1 ,qf , o), où elle perce le plan XOY’, a pour expression (n«> 422)

(2.4) iz={b~b') (P— P/> — (g— a') M— fl’).

± \/(a—a/)'+(b—by+ {aV-ba')'

Telle est la plus courte distance des deux droites données.

443 -Si l’on demandait les équations de la perpendiculaire commune MN, il faudrait, par chacune des droites données AB, CD, mener un plan perpendiculaire au plan P; ces deux plans, par leur intersection, détermineraient la droite MN. Un plan

{x — az — p) + X (y — bz — q) = 0, mené par la droite AB, sera perpendiculaire au plan P représenté par l'équation (23) , si la condition (n° 421)

(b — b’) — X(a — a1)— (a +X6)(a6/ — èa’j = 0 est vérifiée; on en déduit la valeur de X, et le plan cherché a pour équation