L1V. I, CHAI*. III. — DK L HOMOGÉNÉITÉ

Si l’on substitue dans la relation (3), il vient (4) f (fit, Aj$, Ar,...) = O- Concevons ipie la première unité restant fixe, ta seconde varie, a, p, y,... serontdesuombres constants, k un nombre arbitraire, et l'équation (4) devra être vérifiée quel que soit ce nombre k.

Ainsi : si l’équation (1) est vérifiée quand on y remplace les lettres a, b,e,... par les nombres a, fi, y,... elle sera aussi vérifiée quand on y remplacera res memes Irttres par ka, k JS, kY,... quel que soit le nombre k.

43— La condition précédente est évidemment remplie lorsque le premier membre de l’équation (1) est une fonction homogène des lettres a , b, c, ... ; car alors on a

/•(Aa, A fi, Ay,...)=A- A*,?, y.--); si f (a, y,.-0 est nul, il en sera de même de f (Aa, Afs, A y, ..),

quel que soit A.

Nous allons démontrer que, réciproquement, l’homogénéité est nécessaire , en nous bornant aux équations algébriques mises sous forme entière.

Supposons que fia, b,r,...) soit un polynôme entier-, si tous ses termes ne sont pas du même degré, réunissons par groupes les termes dont le degré est le même; appelons s (a, b , e,...) l'ensemble des lé r pi es du degré le plus élevé tn, } (a, b , c,...) l’ensemble des termes du degré », etc., l'équation (4) devient A'" ? (a, p,Yv) + A" (*> P» r»-") +••• —0.

Pour que celte équation soit vérifiée, quel que Soit A, il est nécessaire que l’on ait séparément

?KP, y,...)=o>

Comme l’unité à laquelle se rapportcht les nombres a, p, y,... est arbitraire, on a entre les lignes de la figure les relations homogènes

Donc, si l’équation (4) n'est pas homogène, elle équivaut à plusieurs équations homogènes séparément.

44 — Cependant il peut arriver qu’une équation non homo-

gène soit vérifiée, quand on fait choix d’une unité particulière, sans que les parties qui la composent soient nulles séparément; mais alors, si l’on change l’unité, l’équation cesse d’être vérifiée.

Expliquons ceci par un exemple.

Proposons-nous de déterminer les dimensions d’un cylindre de telle sorte que sa surface soit équivalente à celle d'une sphère de rayon donné A et son volume à celui d’une sphère de rayon B.

Soient X le rayon et Y la hauteur du cylindre; appelons a, b, x, y les mesures des lignes A, B, X, Y, rapportées à une unité quelconque; les inconnues devront satisfaire aux deux équations

(5) xy -\-xy—lal=Q,

Chacune de ces équations est homogène : l’une est du second degré, l’autre du troisième. Si elles sont vérifiées quand on rapporte les lignes à une certaine unité, il en sera de même quand on les rapportera à une autre unité.

Les inconnues x et y doivent également satisfaire à l’équation non homogène

que l’on obtient en ajoutant les précédentesmembreà membre.

Considérons l’équation (7), abstraction faite de son origine. On peut trouver quatre lignes A, B, X, Y, telles que, si on les mesure avec une unité particulière, les nombres obtenus vérifient cette équation sans annuler séparément les deux parties; supposons, par exemple, que les lignes rapportées à une première unité aient pour mesure les quatre nombres a=l, 6=3, ar=l, ÿ=18,5, dont trois ont été pris arbitrairement et le quatrième déterminé ensuite par l’équation (7) ; si on mesure les mêmes lignes avec une unité deux fois plus petite, on obtient les nombres a=2, 6=G, x=2, y=z 37 qui ne satisfont plus à l’équalion. Le cylindre construit avec les lignes X et Y ainsi

(7) (x*+xy— 2 a1) -f (x'y —