LIV. I, CHAP. III.— DE L’HOMOGÉNÉITÉ

Telles sont, par exemple, les fonctions

aVb + b*' csin a « +6 ’

a+v' ab a

le degré de la première est 2, celui de la seconde—, celui de la troisième 0, et celui de la quatrième —2.

41— On voit aisément :

1° Que la somme ou la différence de deux fonctions homogènes du même degré est une fonction homogène du même degré que les fonctions proposées ;

2° Que le produit de plusieurs fonctions homogènes de degrés quelconques est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;

3° Que le quotient de deux fonctions homogènes est une fonction homogène dont le degré est égal à l’excès du degré du dividende sur le degré du diviseur;

4* Que la puissance d’une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée multiplié par l’indice de la puissance;

5° Que la racine d’une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré.est égal au degré de la fonction proposée divisé par l’indice de la racine ;

6° Qu’une fonction transcendante d’une fonction homogène de degré 0 est elle-même homogène et de degré 0. Par exemple, les fonctions

sm

ab

sont homogènes et de degré 0; car si on remplace a et 6 par ka et kb, la lettre k disparaît de dessous le signe transcendant et on peut mettre en avant le facteur k°. Mais si la quantité placée sous le signe transcendant, quoique homogène, n’était pas du degré 0, la lettre k ne pourrait se mettre en facteur en avant du signe transcendant et la fonction ne serait pas homogène. Ainsi la fonction sin (a-fV 6c) n'est pas homogène.

Lorsqu’un monôme est rationnel et entier par rapport aux lettres a, b,c..., on appelle degré du monôme, par rapport à une lettre, l’exposant de cette letire dans le monôme; degré du monôme, par rapport à plusieurs lettres, la somme des exposants de ces lettres. Un monôme est toujours une fonction homogène d’un degré égal au degré du monôme : donc la somme de plusieurs monômes de même degré est un polynôme homogène de ce même degré. Par exemple, le polynôme a 5 — iatb-\-îiabi — 2 b 3

est une fonction homogène du troisième degré, par rapport aux lellros a et b.

4$ — Lorsqu’on cherche les relations qui existent entre les longueurs des diverses lignes A, B, C,... d’une figure, on imagine ces lignes rapportées à une unité de longueur, qui ordinairement n’est pas spécifiée et reste tout à fait arbitraire. Désignons par les lettres n, b, c,... les nombres qui expriment ainsi les mesures des lignes de la figure, et supposons que l'on ait trouvé entre ces nombres la relation

Les raisonnements que l’on a faits pour arriver à cette relation étant indépendants de l’unité de longueur, il est évident que CCUe relation doit subsister, quelle que soit celle unité. Appelons a, (8, les valeurs particulières de û, b, c,... pour une première unité; a', ff,y',... les valeurs de ces mêmes quantités pour une autre unité; ces deux séries de nombres vérifient les relations

<2, /■(’>?> Yv.)=0,

(3) />', fj\T',...) = 0.

Mais quand on change l’unité, les nombres varient proportionnellement, de sorte que si l'on désigne par k le rapport de la première unité à la seconde, on a

d’où,

V=kp, y'—ky, ..