LIV. VI, CHAP. I.— CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX

474 — Nous avons vu que les tangentes aux diverses courbes tracées par un même point sur une surface sont situées dans un même plan ; il n’y a d’exception que lorsque les coordonnées du point annulent à la fois les trois dérivées partielles du premier membre de l’équation par rapport à x, y, z. Dans le cas des surfaces du second degré , un pareil point est centre de la surface ; ce point étant aussi situé sur la surface, quand on y transporte l’origine des coordonnées, la constante F, est nulle; ainsi, pour les surfaces du second degré, l’exception n’a lieu que dans le cas du cône, quand le point est Je sommet.

PLANS DIAMÉTRAUX.

475 — Une ligne droite ne perce une surface du second degré qu’en deux points; la surface, qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à une même direction, a été appelée surface diamétrale.

Soient m et n les paramètres constants qui définissent la direction des cordes; transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque de l’espace, ayant pour coordonnées a, b, c, l’équation (1) prend la forme (4). Une droite, menée par la nouvelle origine dans la direction donnée, est représentée par les équations

x=mz , y =.nz.

On obtient l’équation qui donne les coordonnées z des points de rencontre de la droite et de la surface, en remplaçant, dans l’équation (4), a; par ms, y par ns ; on a ainsi (8) [Am*-f-A '»*-(-A"-l-2B»+2B'

Pour que le point (a, b, c) soit le milieu de la corde menée par ce point dans la direction donnée, il faut que l’équation précédente ait ses deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que les coordonnées a, b, c vérifient la relation w»Æ+n#+/ï=0.

Cette équation, étant vérifiée par les coordonnées du point milieu de l’une quelconque des cordes de la série considérée,

4ao GÉOMÉTRIE ANAÉYTIQl'E.

représente le lieu cherché. Remplaçons a, b, c par jr, y, z ; cette équation s’écrit

(9) y, z)+nf,{x, y, z)+f,(x, ÿ, s) = O ;

comme elle est du premier degré , elle représente un plan . Ainsi, dans les surfaces du second degré, pour toutes les directions de cordes, la surface diamétrale est un plan.

476— Si les paramètres m et n satisfont à la relation Am *+ A V-f A"+ 2Bn+ 2B'm + 2 B"m n=0 ,

l’équation (8) s’abaisse au premier degré, c’est-à-dire que les droites parallèles à la direction donnée ne percent la surface qu’en un point, il n’v a pas de plan diamétral correspondant à cette direction.

L’équation (0) est vériliée, quelles que soient m et n, par les valeurs de x, y, z qui satisfont à la fois aux trois équations qui déterminent le centre

fi=0, /l=0, £=0;

il en résulte que tous les plans diamétraux passent par le centre de la surface, quand il en a un, ou par le lieu des centres s’il y en a une infinité.

477 — Lorsque la surface est dépourvue de centre, les trois plans définis par les équations (5) sont parallèles, ou la droite d’inlersection de deux d’entre eux est parallèle au troisième. Dans le premier cas on a

fl—-afz +P> /Ü = P/i+<f>

a, 8, p, q désignant des constantes; l’équation (9) se réduit à fl,(xm+£n+i)+mp+nq=0-)

elle représente, pour toutes les valeurs de m et de n, des plans parallèles entre eux. Dans le second cas, si les plans définis par les deux équations f'x — 0, fy = 0 se coupent suivant une droite parallèle au plan f:= 0, l’équation générale des plans qui [tassent par la droite d’intersection des deux premiers étant “/ï+,8/* = 0, on a

fz=*fr+?n+r,

LIV. VI, CHAP. I.— CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 431 a, fi, r étant des constantes; et par suite Péqualion (9) prend la forme

(m+a) /l+fn+fi) /"y+r= 0;

elle représente des plans parallèles à la droite d'intersection des deux plans

ft = 0, fi—0.

Ainsi les surfaces dépourvues de centre ont leurs plans diamétraux parallèles à une même droite ou parallèles entre eux.

478 — Considérons une direction à laquelle corresponde un plan diamétral ; si l’on prend pour axe des z une des cordes, pour axe des x et des y deux droites situées dans le plan diamétral, l’équation de la surface devra être vérifiée par deux valeurs de z égales et de signes contraires pour chaque système de valeurs attribuées arbitrairement aux variables x et y. Elle aura donc la forme

Ps’+/;(x,y)=0,

f ( x , y) désignant une fonction qui ne renferme plus que les variables x et y et dont le degré ne surpasse pas 2. Déplaçons les axes des x et des y dans le plan XOY en conservant à l’axe des z sa direction; ce changement de coordonnées s'effectue par les formules de la Géométrie plane. Lorsque la fonction f,(x,y) est du second degré, nous avons vu (liv. III, chap. u), que l’on peut, d'une infinité de manières choisir les nouveaux axes Ox, Oy, de telle sorte que cette fonction se réduise à l’une des formes

Mx’+Ny’+F, , NyM-Qx, Ny*+F„ et alors l’équation de la surface sera elle-même ramenée à l’une des formes

(I) Mx*+Ny!+Ps*+Ft=0,

(II) Ny’+PzS-Q^O,

(III) Ny’+Ps’+F^O.

Si la fonction F, est du premier degré, on la ramène par le même changement à la forme Qx, et l’équation de la surface devient

(IV) P-1 + Qx=U.

Enfin, si F, ne contient pas les variables x et y, l’équation de la surface est

(V) Py*+Ft=0.

479— Dans ce qui précède M, N, P, Q désignent des constantes différentes de zéro et Ft une constante qui peut être nulle. L’équation (III), si elle a des solutions réelles, représente un cylindre elliptique ou hyperbolique, une droite ou deux plans qui se coupent. L’équation (IV) représente un cylindre parabolique. Si l’équation (V) a des solutions réelles, elle représente deux plans parallèles ou un plan unique. Ainsi quand on fait abstraction des cylindres, on voit que l’équation du second degré peut, d’une infinité de manières, être ramenée à l’une des formes (I) et (II).

Considérons l’équation (I); en égalant à zéro les dérivées partielles de son premier membre, on obtient trois équations qui ont une solution unique; la surface admet donc un centre unique, l'origine des coordonnées. Chacun des plans des coordonnées est le plan diamétral des cordes parallèles à l’intersection des deux autres ; à cause de cette propriété, on les nomme plans diamétraux conjugués.

L’équation (II) représente des surfaces dépourvues de centre, puisque l’équation /^= 0 se réduit «à Q=0. Le plan XOZ partage en deux parties égales les cordes parallèles à OY et le plan XOY les cordes parallèles à OZ ; les lignes parallèles à OX ne percent la surface qu’en un point, et il n’y a pas de plan diamétral correspondant.

PLANS DIAMÉTRAUX PRINCIPAUX.

480 — Parmi les plans diamétraux d’une surface du second degré, on distingue en particulier ceux qui sont perpendiculaires aux cordes qu’ils divisent en deux parties égales; ce sont des plans de symétrie de la figure. Dans ce qui précède, les axes de coordonnées étaient quelconques ; dans la recherche des plans principaux, nous supposerons les axes rectangulaires. Si l’on désigne par a, , a'1 les cosinus des angles que