L1V. VI, CHAI*. I — CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX

fait avec les axes une direction donnée, les équations d’une corde peuvent se mettre sous la forme

a, b, c étant les coordonnées d’un point particulier de cette corde, et x, y, z celles d’un point quelconque de cette même corde. La lettre p désigne la distance du premier point au second, affectée du signe + ou du signe — , suivant qu’elle est comptée dans la direction donnée ou dans la direction opposée.

On obtient l’équation qui donne les distances du point I aux points de rencontre de la corde et de la surface en remplaçant dans l’équation (4) les lettres x, y, z par «p, ftp, yp, ce qui donne

(H) Sp*+2TP+R=0, en posant, pour abréger

j S=Aa*+A/a«-fA//a//1-f2Ba'a//-f2B'a''« + 2B''aa',

(12) T=a/'(a, b, c)+x'f'b(a,b,c)+*"ft(a, b, c) ,

Si l’on suppose le point 1 fixe et que l’on fasse varier les angles «, a', a", on peut regarder l’équation (1 1) comme représentant la surface en coordonnées polaires. Le coefficient S de p’ ne dépend que de la direction du rayon vecteur, le terme constant R ne dépend que de la position du point I, tandis que le coefficient T varie à la fois avec la direction du rayon vecteur et la position du point I.

484 — L’équation du plan diamétral des cordes parallèles à la direction (a, a', a") prend la forme

c’est-à-dire

( 1 3) (A*+BV+ BV) '+B«r') y+(tf,.+It*'+AV) t+Ca+CV+CV=.0.

Soient X, [x, v les cosinus des angles que fait avec les axes des coordonnées la normale à ce plan diamétral, 8 l’angle de la normale avec la direction des cordes, on a

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Aot+B'V+BV — B'a+A'a'-fBa" — l?a+B«'-t-AV'

aX-)-“V + a"v COS 0

«(A4-f-B"a’-)-B a")-f-a’(B//a-{-.»..)-|-.... S Pour que le plan diamétral soit un plan principal , il faut que la normale au plan coïncide avec la direction des cordes; on doit donc avoir les relations

Â^BV+BV = B^+AV+Bct" — B'a+Ba +AV'- S ’ alors l’équation du plan principal devient

(15) S («a;+a'y+a"*)+Ca+CV+CV=0.

4ÉU8 — Les équations (U) donnent les suivantes (A — S) a-|-BV+ B'a" =0 ,

(16) B"a+(A'— S)«'+Ba"=ü,

B'a+Ba'+(A"— S)<*"=0; en y joignant la relation

on a à résoudre un système de quatre équations à quatre inconnues.

Les trois inconnues a, a', a11 ne pouvant être nulles en même temps, puisque la somme de leurs carrés doit être égale à l’unité, l’une au moins, par exemple est différente de zéro. Pour résoudre ce système d’équations, on imaginera les premiers membres des trois équations (16) divisées par «<’, on

tirera des deux premières les valeurs des rapports — » — ;

substituant dans la troisième, on aura une équation ne renfermant plus que l’auxiliaire S; la quantité S connue, comme

otf

on a déjà les valeurs des rapports — — » on obtiendra les

cosinus au moyen de l’équation (17).

Au lieu de diviser par a", supposons qu’on tire des deux premières des équations (16) les valeurs de a et a', et qu’on substitue dans la troisième, on arrivera à une équation de la forme D,a''=0; puisque a” est différent de zéro, on aura

LIV. VI, CHAP. I.— CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 435 D, = 0; c’est l’équation en S. Mais il est évident que le poly* nôme D, n’est autre chose que le dénominateur commun des formules de résolution du système (16) considéré comme un système à trois inconnues a, a' , a1’. On observe aussi que l’on peut former ce polynôme en remplaçant dans le polynôme que nous avons appelé D (n° 471) les lettres A, A', A" par A-S, A'— S, A''— S. L’équation qui donne l’inconnue S est donc (18) (A -S) (A'— S) (A"— S) -(A-S) B* — (A' — S) B/J — (A" — S) B">+2BB' B"=0; quand on développe le polynôme par rapport aux puissances de S, on voit que le terme indépendant de S est la quantité D elle-même.

483*- Afin d’arriver à une forme d’équation plus commode à discuter, nous allons faire l’élimination d’une autre manière: multiplions les équations (16) respectivement par B, B/, R';, et retranchons les résultats deux à deux, il vient