SECTIONS PLANES

509 — Considérons les surfaces représentées par l’équation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire. On a les deux hyperboloïdes ou le cône asymptote, quand on attribue au paramètre X les valeurs ±1 ou la valeur 0. Si l’on coupe ces surfaces par un même plan

A;r-f-By-f-C= — l ,

les projections des courbes d’intersection sur le plan XOY ont pour équation

x% , y* (f— . \x— By)’

as + b' c’C — A’

le paramètre X n’entrant que dans le terme constant, il en résulte que les courbes projections, et par suite les courbes dans t’espace, sont homothétiques; car ce sont les intersections de cylindres homothétiques par des plans parallèles (n°466); elles sont en outre concentriques, si elles ont un centre; quand ce sont des paraboles, elles ont même paramètre, et par conséquent sont égales.

510 — Il résulte de là que pour reconnaître l’espèce de la section d’un hyperboloïde par un plan , il suffit d’étudier la section du cône asymptote par le même plan. On sait d’ailleurs que les sections parallèles sont homothétiques.

Par le centre, menons un plan parallèle au plan sécant ; il y a trois cas à distinguer. 1° Si le plan mené par le centre ne coupe le cône qu’en un seul point, les deux nappes du cône sont situées, l’une d’un côté de ce plan, l’autre de l’autre ; il est clair que tout plan parallèle coupera toutes les droites d’une même nappe et par conséquent déterminera sur le cône une courbe fermée qui sera une ellipse ; les sections faites par ce même plan dans les hyperboloïdes seront aussi des ellipses. 2° Si le plan mené par le centre coupe le cône suivant deux droites, il partage chacune des nappes en deux parties situées de part et d’autre du plan; tout plan parallèle rencontrera la partie de chacune des nappes qui est du meme côté que ce plan, et par conséquent coupera le cône suivant deux branches séparées et s’étendant indéfiniment; car si une génératrice du cône se rapproche de l’une des génératrices déterminées par le plan mené par le centre, elle devient parallèle au plan sécant, et le point d’intersection s’éloigne à l’infini; la courbe est donc une hyperbole. Cette hyperbole aura ses asymptotes parallèles aux droites déterminées par le plan passant parle centre. 3® Enfin, si le plan mené par le centre est langent au cône asymptote, l’une des nappes du cône sera située tout entière d’un côté du plan, l’autre nappe de l’autre côté, excepté l’arête de contact, qui est dans le plan; un plan parallèle ne rencontrera que la nappe qui est du même côté que ce plan et la cou-

LtV. VI, CHAP. IV.— DES I1YPEHB0L0IDES. Am

pern suivant une brandie infinie ; la courbe sera une parabole.

Nous examinerons plus tard en détail les diverses variétés que présentent ces courbes, et leur déformation quand on fait mouvoir le plan sécant.

PLANS DIAMETRAUX.

511 — Considérons les surfaces représentées par l'équation

dans laquelle X est un paramètre arbitraire, et qui donne le cône asymptote ou les deux byperboloïdes, quand on attribue au paramètre X la valeur 0 oujes valeurs ±1.

Le plan diamétral conjugné de la droite

a pour équation

Ce plan est le même dans les deux byperboloïdes et dans le cône asymptote. On pourrait d’ailleurs le reconnaître à priori. En effet, considérons une sécante qui rencontre le cône on deux points; le plan mené par cette sécante et le centre coupe le cône suivant les asymptotes des hyperboles déterminées par ce plan dans les byperboloïdes; les portions de celte sécante comprises entre les hyperboles et les asymptotes étant égales, il en résulte que les cordes ont même point milieu.

512— L’espèce de la section déterminée par le plan diamétral dépend de la direction des cordes. Par le centre, menons une parallèle aux cordes; si cette droite est située à l’intérieur du cône asymptote, il est évident que chaque sécante rencontre les deux nappes du cône et, par conséquent, le point milieu est entre les deux nappes; le plan diamétral, ayant tous ses points entre les doux nappes, coupe le cône suivant un point. L’hyperboloïde à une nappe, étant situé à l’extérieur du cône asymptote, sera coupé par le plan diamétral suivant une ellipse réelle; cette ellipse est la courbe

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

de contact d’un cylindre ayant ses génératrices parallèles aux sécantes et circonscrit à l’hyperboloïde; le cylindre circonscrit est situé à l’intérieur de l’hyperboloïde. L’hyperboloïde à deux nappes étant situé, au contraire, à l’intérieur du cône asymptote, le plan diamétral ne rencontre pas la surface; aucune des sécantes ne devient tangente, et il n’existe pas de cylindre circonscrit dans cette direction.

Si la droite menée par le centre est située à l’extérieur du cône asymptote, une parallèle percera une même nappe en deux points et, par conséquent, le point milieu sera situé à l’intérieur du cône; le plan diamétral, pénétrant à l'intérieur du cône, coupera ce cône suivant deux droites, et, par conséquent, les hyperboloïdes suivant des- hyperboles conjuguées. Chacune de ces hyperboles sera la courbe de contact d’un cylindre circonscrit.

513 — Il est un cas où il n’y a plus à proprement parler de plan diamétral; c’est lorsque la droite menée par le centre appartient au cône asymptote; dans ce cas, toute parallèle ne rencontre la surface qu’en un point et le point milieu est à l'infini. Cependant l’équation (6) représente encore un plan passant par le centre; c’est la position limite vers laquelle tend le plan diamétral, quand la droite (5) se rapproche de plus en plus du cône. Le plan tangent au cône a pour équation xX . yX srL

si le point de contact appartient à la droite (5) , cette équation devient

«X yZ

c’est l’équation ((i); ainsi quand les sécantes deviennent parallèles à une arête du cône asymptote, le plan diamétral coïncide avec le plan tangent au cône suivant cette arête.

DIAMÈTRES

514— Les sections faites dans les hyperboloïdes et dans le cône asymptote par un même plan étant concentriques, le lieu