LIV. VI, CHAP. IV.— DES HYPERBOLOIDES

si 1 on attribue à À la valeur X=: -, (]e manière que la

première des équations (X) soit vérifiée par les coordonnées de ce point, la seconde équation le sera également, puisqu’en divisant membre à membre l’équation (1) par la première des équations (X), on trouve la suivante. Ainsi les équations (X), dans lesquelles on attribue au paramètre X une valeur convenable, représentent une droite passant par le point M. En attribuant de même au paramètre [4 une valeur convenable, on aura une seconde droite passant par le point M. D’ailleurs, ces deux droites différent; car, pour que les droites représentées par les équations (X) et ((tx) fussent les mêmes, il faudrait que l’on eût

xA+£) = i(,-ry

quelle que soit x , c’est-à-dire à la fois

ce qui est impossible. 11 résulte de là que les équations (X) et et (|x) représentent toutes les droites situées sur l’hyperboloïde à une nappe.

^es parallèles menées par le centre aux droites (X) ont pour équation

l’élimination

asymptote

du

paramètre X

donne l’équation

du cône

,yf ir*

Les parallèles menées par le centre aux droites (g) ont pour équations

b c jx a et l’élimination du paramètre tx conduit encore au cône asymptote. On voit d’ailleurs que les deux systèmes de paral-

lèies coïncident; car si l’on donne à fx la valeur—^-» les

équations (3) sont les mêmes que les équations (3). Ainsi les droites de l’un et l’autre système sont respectivement parallèles aux arêtes du cône asymptote.

— Nous allons faire voir maintenant que les droites représentées par les équations (X) constituent l’un des systèmes que nous avons définis précédemment par des considérations géométriques à l’aide de l’ellipse de gorge, et que les droites représentées par les équations (u) constituent l’autre système.

11 suffit pour cela de démontrer que toutes les droites du premier groupe rencontrent une droite fixe du second groupe, excepté une, qui lui est parallèle. Considérons deux droites représentées par les équations (X) et (jx), quand on attribue à X et à .a des valeurs quelconques ; on obtiendra le point d’intersection de ces deux droites, en regardant ces quatre équations comme simultanées; en comparant la première et la quatrième, la seconde et la troisième, on en déduit les deux équations

qui se réduisent à une seule et qui donnent

St le dénominateur X -1 — n’est pas nul, on obtient pour x, y.z !*

LIV. VI, CHAI». V.— DES PARABOLOIDES. 481 des valeurs Unies et déterminées vérifiant les quatre équations; ainsi les deux droites se coupent. Si l’on a l—~

les parallèles (2) et (3) menées par le centre à ces deux droites coïncident, et, par conséquent, les droites sont parallèles.