PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE
530— Considérons le cas où les deux racines S' et S" ont le même signe, par exemple le signe +. On peut supposer P
négatif. Si l’on pose
l’équation devient
il+ ü -x
La surface passe à l’origine ; les sections faites par les plans principaux YOX, ZOX sont deux paraboles P et 0, qui ont pour axe com-
mun la droite OX (fig. 266).
Coupons la surface par des plans perpendiculaires à la
droite OX. Pourx=0, la section se réduit au point O; en attribuant à x des valeurs positives de plus en plus grandes.
484 GÉOMÉTKIK ANALYTIQUE.
on obtient des ellipses homothétiques qui ont leur centre sur lai droite OX et qui augmentent indéfiniment. Les plans situés à gauche du plan YOZ ne coupent pas la surface. Ainsi, la surface se compose d’une nappe indéfinie située tout entière à droite du plan YOZ; on lui a donné le nom de paraboloïde elliptique. La droite OX est un axe de la surface; le point O en est le sommet.
Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P, et qui ont leurs sommets sur la parabole Q et leurs axes parallèles à OX. Il en résulte que l’on peut regarder la surface comme engendrée par la parabole P qui se meut parallèlement à elle-même, son sommet décrivant la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q, et l’on peut regarder la surface comme engendrée par la parabole Q se mouvant parallèlement à ellemême, son sommet décrivant la parabole P.
540 — Les sections de la surface par des plans 'Ax-J-By~l-Cz = l,
non parallèles à l’axe, sont des ellipses ayant pour projections sur le plan YOZ
On voit, en outre, que les projections sont des ellipses homothétiques entre elles, quelle que soit la direction du plan sécant. Lorsque le plan sécant
By-f Cz=zl
est parallèle à l’axe du paraboloïde, la section, qui a pour projection sur le plan XOYjj
y» ' (I-By)’
est une parabole dont l’axe est parallèle à l’axe du paraboloïde. Le paramètre de cette parabole étant indépendant de t , il en résulte que des plans parallèles entre eux et parallèles à l’axe coupent la surface suivant des paraboles égales.
